Logaristmos

[pic]Logaritmo

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Representación gráfica de logaritmos en varias bases:
el rojo representa el logaritmo en base e,
el verde corresponde a la base 10,
y el púrpura al de la base 1,7.
Los logaritmos de todas las bases pasan por el punto (1, 0), esto es debido a que cualquier número elevado a la cero es igual a uno, y también los puntos (b, 1) para labase b, debido a que cualquier número elevado a la unidad es igual a sí mismo.
En matemática, el logaritmo es una función matemática inversa de la función exponencial.

Introducción

Dado un número real (argumento), la función logaritmo asigna el exponente (o potencia) a la que un número fijo (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de la exponencial x = bn,que permite obtener n. Esta función se escribe como: n = logb x. Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2. Por ejemplo: [pic]
El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación.
Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) allogaritmo en base e de un número.
Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por vez primera los logaritmos. El método de logaritmos naturales fue propuesto inicialmente en 1614, en un libro intitulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, escrito por John Napier (latinizado Neperus), o Neper. Barón de Merchiston en Escocia, que nació cerca de1550, y murió en 1617, cuatro años después de la publicación de su memorable invención.
Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la realización de cálculos muy complejos. Antes del advenimiento de las calculadoras y computadoras, era constantemente usado en estadística, navegación, y otras ramas de la matemática aplicada. Además de su utilidad enel cómputo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas.

Etimología [editar]

La palabra logaritmo se debe a John Napier y está formada de las palabras griegas λογος (logos), que significa razón o cociente, y αριθμoς (arithmos), con el significado de número, y se define, literalmente, como un número que indica una relación o proporción. Se refiere ala proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental", que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, de manera que una serie aritmética de logaritmos corresponde a una serie geométrica de números.

Definición analítica [editar]

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En la imagen se puede ver la representación gráfica del logaritmo neperiano,como también la representación de las rectas tangentes a la función en x = e (Te) y en x = 1 (T1).
Podemos introducir la función logarítmica como una función analítica que es de hecho la función primitiva de otra función analítica bien conocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos con algunas observaciones:
1. La derivada de la función [pic]es [pic]. Al dividir ambos lados de laexpresión por "n" y observar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de [pic]es [pic](con [pic]).
2. Este cálculo obviamente no es válido cuando m = − 1, porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, la función inversa [pic]es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".
3. Sin embargo, la función [pic]es continua sobre el rango [pic]lo que implica quetiene forzosamente una primitiva en este intervalo, y también sobre [pic].
A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, y la definiremos convencionalmente como:
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Propiedades [editar]

• La función [pic]definida anteriormente es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva
• Tiene límites...