Logaritmación

Logaritmación.
Sección preparatoria.
Karen Cerecedo.

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11/05/2012.

Logaritmación.
Definición.
Logaritmación es el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número. Veamos un sencillo ejemplo:

La pregunta que debemos hacernos es: ¿A que debemos elevar 2 (la base del logaritmo) para obtener 8? En este caso, la respuesta sería 2^3=8, es decir,que lo hemos elevado a 3.
Observamos una serie de elementos, como:
a) La base: Es el número que elevado al exponente nos da el número total.
b) El número total: Es el resultado, en el ejemplo de arriba, sería el 3
c) El logaritmo: Es el exponente por el cual debemos elevar la base para obtener el total.

Identidades básicas:

Es decir, que el logaritmo de un producto es igual a la suma delogaritmos de ambas partes del producto.

La división de logaritmos es igual a la diferencia de logaritmos entre el numerador y el denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice del logaritmo y el radicando.
Veamos ahora la representacióngráfica, comparándola con la función exponencial:

Nos damos cuenta que para la función logarítmica no existen números negativos, además de que es una función creciente (al menos cuando su base es mayor que uno).
Ecuaciones exponenciales.
Definición.
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la variable a despejar se encuentra en un exponente. Es decir, un número (u otra variable)está elevada a la variable a despejar, comúnmente llamada x.
Por ejemplo: 2x-8 36=180.
Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las propiedades de la potenciación, radicación y logaritmación.
Para resolver una ecuación exponencial vamos a tener en cuenta:
1.
2.
Formas de resolución.
Igualación de bases.
Sea la ecuación del ejemplo:
Es evidente que si el primer miembro sólo tiene untérmino, el término del segundo miembro es potencia del término del primer miembro. Entonces igualamos el segundo miembro, expresando su término como potencia del término del primer miembro:

Luego, por la siguiente propiedad: , tenemos:



Cambio de variables.
Sea la ecuación exponencial del ejemplo:

Vamos a escribirla así:

Aplicamos el cambio de variable, y escribimos:Ahora, al reemplazar, se tiene:

Despejamos:

Ahora, recordemos que, luego:

Aplicación de logaritmos.
Sea la ecuación:

Por la propiedad del logaritmo de un producto, tenemos:

Operando:

De donde sale:

Ecuaciones en las que la variable es el índice de una raíz.
Cuando la incógnita se encuentra en el índice de una raíz, también se la considera exponencial, ya que sólo basta escribirlacomo exponente fraccionario. Sea la ecuación:

Vemos que la variable se encuentra también en el exponente de una raíz. Por las propiedades de la radicación, vamos a escribirla así:

Aplicamos el método de igualación de bases:

O sea:

Operando, obtenemos:

Progresión geométrica.
Veamos esta ecuación:

Vemos que se trata de una progresión geométrica. Para resolver esta ecuación no haymás que aplicar la fórmula para calcular la suma de los n términos de una progresión geométrica, sabiendo que dicha progresión tiene 5 términos. Así:

Se convierte en:

O sea:

Igualando las bases:

De donde sale:

El mismo razonamiento es aplicable para cualquier progresión geométrica.
Función exponencial.
En la función exponencial, para saber en qué punto su gráfica corta al ejede ordenadas, se debe plantear la ecuación:

Operando se llega a la conclusión de que.
Si se quiere saber en qué punto del eje de abscisas la gráfica interseca al eje de ordenadas en el punto 1, se plantea:

Ecuaciones logarítmicas.
Definición.
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas ecuaciones en las que al menos una de las incógnitas es un logaritmo. Podemos expresarlo de forma general...