Logaritmico Y Exponencial

MATEMÁTICAS IV

UNIDAD 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

4.2 FUNCIONES LOGARÍTMICAS
Para iniciar el tema proponemos las siguientes situacio nes que ilustran la variación
logarítmica. En estas tratamos de que el alumno explore e incorpore los conceptos y las
formas de representación que ha aprendido, de modo que le de sentido y adquiera una
buena interpretación de la situaciónanalizada. Después procederemos a un estudio
más general y abstracto de este tipo de funciones.
4.2.1 SITUACIONES QUE DAN LUGAR A FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
Aprendizajes:
- Representa por medio de funciones logarítmicas, algunas situaciones que se le presenten.
- Obtiene, mediante el análisis de las condiciones de una situación o problema o bien del
estudio del comportamiento de algunos valoresque obtenga, la expresión algebraica f(x)
= loga x que le corresponda.
Cuando se pretende representar medidas que toman valores muy dispares, desde muy
pequeños a muy grandes, se emplea la escala logarítmica. Algunos ejemplos en que se
utiliza son:
• La escala Richter que mide la intensidad de los terremotos.
• La intensidad del sonido en belios o decibelios, o el mismo pentagrama.
• El ph deuna sustancia
• La magnitud de las estrellas.
Etc. Etc.
1. Magnitud de un terremoto
La escala de Richter (diseñada por el científico norteamericano C. F. Richter en el año
de 1935) es una forma de convertir las lecturas sismográficas en números que
proporcionan una referencia sencilla para medir la magnitud M de un terremoto. Todos
los terremotos se comparan con un Terremoto de nivel cerocuya lectura sismográfica
mide 0.001 de milímetro a una distancia de 100 kilómetros del epicentro. Un terremoto
cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M(x) dada por:
x
M(x) = log  
donde “x0 = 10-3” es la lectura de un terremoto de nivel cero a la
x 
 0
misma distancia del epicentro.
Richter estudió muchos terremotos ocurridos entre 1900 y 1950. El mayor,ocurrido en
San Francisco en el año de 1906, tuvo una magnitud de 8.9 en la escala de Richter, y,
el menor una magnitud de 0. Esto corresponde a una razón de intensidades de
800.000.000, así que, la escala de Richter proporciona números mucho más
manejables para su trabajo.
Cada unidad de incremento en la magnitud de un terremoto en la escala de Richter,
indica una intensidad 10 veces mayor.Así, por ejemplo, un terremoto de magnitud 6 es
10 veces mayor que un terremoto de magnitud 5. Uno de magnitud 8, es 10 x 10 x 10 =
1000 veces mayor (en intensidad) que uno de magnitud 5. En general, puede probarse
que la intensidad relativa de dos terremotos se puede determinar elevando 10 a una
potencia igual a la diferencia de sus lecturas en la escala de Richter.
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MATEMÁTICAS IVUNIDAD 4: Funciones exponenciales y logarítmicas

Ejemplo 1) ¿Cuál es la magnitud de un terremoto cuya lectura sismográfica es de 0.1
milímetros a una distancia de 100 kilómetros d el epicentro?
Solución.
De acuerdo a la fórmula anterior, si x = 0.1, entonces la magnitud M(x) de este
x
 10 1 
 0.1 
terremoto es: M(0.1) = log   = log 
= log  3  = log 102 = 2

 10 
x  0.001


 0
Lo que indica que el terremoto mide 2.0 en la escala de Richter.

Ejemplo 2) El devastador terremoto de San Francisco en 1906 midió 8.9 en la escala
de Richter. ¿Cómo se compara este terremoto con el de Papúa, Nueva Guinea, en
1988, que midió 6.7 en la escala de Richter?
Solución.
Si x1 y x2 denotan respectivamente, las lecturas sismográficas de los terremotos de SanFrancisco y Papúa, usando la fórmula anterior tenemos:
x 
x 
8.9 = log  1  y 6.7 = log  2 
x 
x 
 0
 0
Escribiéndolos en forma exponencial ( y = loga(x) si y sólo si x = ay) tenemos:
x 
x
log  1  = 8.9 si y sólo si 108.9 = 1
x 
x0
 0
Esta relación nos indica que el terremoto de San Francisco fue 10 8.9 mas intenso que
uno de nivel cero.
x 
x
log  2...