logaritmo

Ricardo Sharpe Pallares investigación 21/10/13


1. Función Logaritmo.
La practicidad que plantea el uso del decibel se basa fundamentalmente en las posibilidades que brinda el carácter logarítmico de su definición matemática. Se define matemáticamente el logaritmo sobre la base de un número como:

Numéricamente sólo es posibledefinir al logaritmo de un número si éste es positivo. La gráfica de la función logaritmo dependerá de la base a considerar. Para un logaritmo de base “a”, la gráfica es de la figura 1

2. Tipos Básicos de Logaritmos.
Existen básicamente dos tipos distintos de logaritmos: los logaritmos decimales y los logaritmos neperianos. Ellos plantean una fórmula similar en su concepto de cálculo, variando elvalor numérico de la base considerada.
LOGARITMO DECIMAL  ->  BASE 10

LOGARITMO NEPERIANO  ->  BASE e=2,71828…

Según sea la base considerada, la gráfica de los dos tipos de logaritmos más utilizados es la de la figura 2.
Se ve que el único punto en común es el que corresponde al que considera en cada caso, el logaritmo de la misma base. Por definición, este valor es igual a 1
Siguensiendo válidas, en ambos casos, las propiedades restantes de la función logaritmo.

3. Ventajas del Uso del Decibel.
El gran auge del uso del decibel como magnitud de relación o magnitud de medida, se debe fundamentalmente a tres motivos:
Posibilidad de que cifras muy grandes o muy pequeñas tengan un formato similar.
Facilidad de cálculos matemáticos, ya que éstos se reducen a sumas y restas.
Sucaracterísticas de transferencia similar con la curva de respuesta del oído humano, hace que las variaciones de sonido se noten “lineales” para el sentido auditivo.
3.1. Homogeneidad de Cifras
Si tomamos logaritmos a números muy grandes y/o muy pequeños, se puede ver que el resultado de esa operación matemática brinda cantidades cuyos números de cifras son similares. A lo sumo habrá diferenciaen los signos, lo que indicará lo siguiente:
Signo positivo: numero considerado >1
Signo negativo: numero considerado < 1

De manera que con la utilización del decibel es posible operar matemáticamente un valor muy grande o muy pequeño (o ambos simultáneamente), sin tener la necesidad de recurrir a números que por su cantidad de cifras harían poco práctico su manejo.
3.2. Facilidad de CálculoComo el decibel aprovecha la propiedad matemática de operar con logaritmos (el logaritmo de un producto o de un cociente es igual a la suma o resta de lo logaritmos de los factores, respectivamente), permite resolver sistemas complicados bajo la forma simple de “suma algebraica” en decibeles de cada etapa que lo componen.
Ejemplo:
Hallar la ganancia total del sistema.

La forma clásica pararesolver lo, consiste en expresar la ganancia total en número de veces, con lo que:

Si en lugar del número de veces se expresa la ganancia o amplificación A y la atenuación o perdida Pde cada componente del sistema en decibeles, la ganancia total Gt del sistema (expresada también en dB) es el resultado de la suma algebraica de las ganancias y/o atenuaciones parciales en decibeles.
G1 = 10 logA1 = +30 dB
G2 = 10 log P = -10 dB
G3 = 10 log A2 = +40 dB
Gt = G1 + G2 + G3 = +30 dB -10 dB + 40 dB = +60 dB
En lugar de emplear 1.000.000 veces el numero +60dB lo hace más fácilmente manejable.
3.3 Similitud con la Respuesta del Oído Humano
La curva de respuesta del oído humano ante las ondas sonoras es del tipo logarítmico; de esta manera, la definición del decibel permite disponer de unaunidad de medida auditiva que varía prácticamente “en forma lineal” con la característica de transferencia del oído humano (por esta causa es que el control del volumen de cualquier etapa amplificadora de audiofrecuencia, debe ser potenciómetro de variación logarítmica y no de variación lineal).
Ejemplo
Cualquier persona que escuche la salida de un amplificador de audiofrecuencia, solamente...