Logaritmo

Propiedades de los logaritmos



1. Logaritmo de un producto



El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.loga(X · Y)= loga X + loga Y





Demostración:



Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.

loga(X · Y)= loga (ax· ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y



Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.

Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn



2. Logaritmo de un cociente



El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numeradormenos el logaritmo del denominador.







Demostración:



Sea loga X = x; esto significa que ax = X

Sea loga Y = y; esto significa queay = Y







3. Logaritmo de una potencia



El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.loga Xn = n loga X



Demostración:



Sea loga X = x; esto significa que ax = X.

loga Xn = loga (ax)n = loga anx =nx = n loga X





4. Logaritmo de una raíz



El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.Demostración:



Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.







Obsérvese que las propiedadesanteriores se refieren al logaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite...