Logaritmo

Logaritmo
 
El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.

Se lee “logaritmo de x en base a es igual a y”, pero debe cumplir con la condición general de que a (la base) sea mayor que ceroy  a la vez distinta de uno:

Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otra forma de expresar la potenciación, como eneste ejemplo:

Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2
Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.
El gráfico siguiente nos muestra el nombre que recibe cada uno de los elementos de una potencia al expresarla como logaritmo:


 
Ver: PSU: Matemática; Pregunta 19_2006
 
Entonces, podemos preguntar: ¿Que es ellogaritmo?
El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia.
Ejemplos:

1) 
El resultado (2) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (4): 22 = 4
2) 
El resultado (0) es el exponente por el cual debemos elevar la base (2) para obtener la potencia (1): 20 = 1
3) 
El resultado (y) es el exponente por el cual debemos elevar labase (1/2) para obtener la potencia (0,25): , pero en este caso debemos despejar el exponente y:


4) 

5) 
Cuidado con esto, hay que recordarlo: Cuando la base no aparece expresada se supone que ésta es 10:
, el 10 que indica la base, no se coloca, se supone, así:


6) 
Aquí, otra nota importante, para no olvidar: Los logaritmos que tienen base e se llaman logaritmos neperianos o naturales. Pararepresentarlos se escribe ln o bien L. La base e está implícita, no se escribe:


  
7) 
Con lo ya expuesto, podemos empezar a establecer las:
Propiedades de los logaritmos
No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de a en base a es uno.

El logaritmo en base a deuna potencia en base a es igual al exponente.

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 31_2010
El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:

El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:

Ver: PSU: Matemática; Pregunta 17_2005El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz:

Cambio de base:

Logaritmos decimales:
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x) (ya vimos que la base 10 no se escribe, queda implícita).
Logaritmos neperianos o naturales:
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x) (ya vimos que la base e tampoco se escribe, sesubentiende cuando aparece ln).
Algunos ejemplos de logaritmos neperianos son:
ln 1 = 0; puesto que e0 = 1
ln e2 = 2; puesto que e2 = e2
ln e−1 = −1; puesto que e−1 = e−1
El número e tiene gran importancia en las Matemáticas. No es racional (no es cociente de dos números enteros) y su valor, con seis cifras decimales, es
e = 2,718281...
Ver: Historia de los logaritmos

Fuentes Internet:http://www.vitutor.com/al/log/log.html
http://usuarios.multimania.es/mislogaritmos/PaginasWeb/Lecciones/02%20Definicion.htm
Ver en Youtube:
http://www.youtube.com/watch?v=G4cNYRaYw3A&feature=related
Ver: Enciclopedia de logaritmos en:
http://usuarios.multimania.es/mislogaritmos/






Propiedades de los logaritmos
 
1. Logaritmo de un producto
 
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma delos logaritmos de cada uno de ellos.
                                           loga(X · Y)= loga X + loga Y
 
 
Demostración:
 
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.
loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y
 
Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.
Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales,...