Logaritmo

FACULTAD DE FARMACIA Y BIOANÁLISIS

Matemática Bioanálisis Unidad I

Logaritmo

Profesor Yonel Peñaloza

Los logaritmos fueron propuestos por el matemático escocés John Napier, como una respuesta a la necesidad de facilitar difíciles cálculos, lo cual permitió un importante avance de la ciencia. Actualmente, los logaritmos son utilizados en muchas áreas del conocimiento. Así por ejemplo,permiten hallar el pH de una solución, determinar la intensidad de los terremotos, hacer cálculos de intereses compuestos, estudiar el crecimiento poblacional y bacteriano, calcular de resistencia de materiales, determinar la intensidad del sonido, entre muchas otras. Definición Sea b > 0 y b ≠ 1 , y x > 0, llamaremos logaritmo de x en base b al único número n que verifica bn = x . Es decir, ellogaritmo de un número es el exponente

al cual se debe elevar otro número, llamado base, para obtener el número dado.
n Se escribe log b x = n lo cual quiere decir que b = x

Así por ejemplo, si se desea saber cuál es el exponente (logaritmo) al cual de debe elevar al 5 (base) para obtener como resultado 125 (potencia o argumento del logaritmo), escribiríamos.
5 x = 125 o equivalentementelog 5 125 = x Con lo cual tendríamos log 5 125 = 3 ya que 53 = 125

Propiedades de los logaritmos.
Dado el hecho de que los logaritmos tienen base positiva y diferente de uno, se tienen las siguientes propiedades: • • • • El logaritmo de un número negativo no existe. El logaritmo de cero no existe. El logaritmo de uno, en cualquier base, es igual a cero. El logaritmo de la base es igual a uno.Propiedades Aritméticas de los logaritmos.
• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores. log b ( AB) = log b A + log b B • El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador.

 A log b   = log b A − log b B B • El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y ellogaritmo de la base de la potencia.
log( A n ) = n log b A • El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

log n A =

( )

1 log b A n

Sistemas de logaritmos
Dependiendo de la base con que se estén calculando los logaritmos, tendremos los sistemas de Logaritmo Decimal y Logaritmo Neperiano El Logaritmo decimal es el logaritmode base 10, y se acostumbra denotar log10 x = log x omitiendo la base. Logaritmo neperiano o natural es el logaritmo cuya base es el número irracional e ≅ 2,718281… y se denota sucesión loge x = ln x donde el número e es el límite de la

 1 lim1 +  = e x →∞  n

n

Si queremos calcular logaritmos en otra base diferente, es conveniente realizar un cambio de base, aplicando la siguienteexpresión; log b x donde a es la base “diferente” y b la nueva base (10 o e) log b a

log a x =

Ecuaciones Logarítmicas
Son ecuaciones en las que la incógnita se ve afectada por un logaritmo; es decir, puede aparecer en el argumento o bien en la base del logaritmo. Para resolver estas ecuaciones, aplicamos las propiedades de los logaritmos de manera inversa, con el objeto de escribir en cadamiembro de la ecuación, una expresión con un logaritmo en una misma base y así eliminarlas, o aplicar antilogaritmo.

Ejercicios
En cada caso determina log x , sabiendo que:

log a = 2,1578 , log b = −3,0249 y log c = 1,9832
a) x =

a 3b 5 c b4

b) x = 3

ac 27b 5 3b 2

c) x =

a 4b 2 c 5 a 3b 5

Sabiendo que log 2 = 0,3010 , log 3 = 0,4771 y log 5 = 0,6989 Calcula, aplicandolas propiedades, el logaritmo decimal de los siguientes números:

4 , 8 , 12 , 15 , 15 / 2 , 32 / 45 , 3 25 / 144 , 360 , 200 / 81

Resuelve las siguientes ecuaciones: 9 a) log 7   = 2 + log 7 x  x b) log( x + 1) − log x = log x i) log(6 − x ) − log(1 − x ) = log 2

j)

3

a 2 x 3 a 2 x 3 a 2 x = a 26

c)

4

x +3

1 =  8

2 x −1

k)

1000.10 x = x 100 5

d) 2...