Logaritmos Y Desigualdades

Nombres y Apellidos: TERESITA YANET MORENO CORONEL

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Use las propiedades de la función exponencial para simplificar totalmente la siguiente expresión:
[((5^2 )^█(2 @)÷ 5^(x^2 ))/(225 × (5x)^(x+1) ) ÷ (3x)^(x-1)/((3^2 )^3 ÷3^(x^2 ) )]×5^x(2x+1) /3^x(1-2x)

[(5^4÷5^(x^2 ))/(3^2×5^2×5^(x^2 ) )×(3^6÷3^(x^2 ))/3^(x^2-x) ]×5^(〖2x〗^2+x)/3^(x-〖2x〗^2)

(5^(4-x^2 )×3^(6-x^2 )×5^(〖2x〗^2+x))/(3^(2+x^2 )×5^(2+x^2+x)×3^(x^2-x)×3^(x-2x^2 ) )

(5^(4-x^2+〖2x〗^2+x) x3^(6-x^2 ))/(3^(2+x^2 )-x+x-〖2x〗^2×5^(2+x^2+x) )

(5^(4+x+x^2 )×3^(6-x^2 ))/(5^(2+x+x^2 )×3^(2-x^2 ) )

5^(4+x+x^2-(2+x+x^2 ) )×3^(6-x^2-(2-x^2 ) )=5^2×3^4=2025

Pruebe que

((e^x+e^(-x) )^2-(e^x-e^(-x) )^2)/((e^x+e^(-x) )^2×√(1-[(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )]^2))=(2e^x)/(e^2x+1)

Simplificando el numerador y el denominador

(e^x+e^(-x) )^2-(e^x-e^(-x) )^2=e^2x+2+e^(-2x)-e^2x+2-e^(-2x)=4

también

(e+e^(-x) )^2×√(1-[(e^x-e^(-x))/(e^x+e^(-x) )]^2 )=(e^x+e^(-x) )^2×√(4/(e^x+e^(-x) )^2 )=(e^x+e^(-x) )^2×2/((e^x+e^(-x) ) )=2(e^x+e^(-x) )

En consecuencia

4/2(e^x+e^(-x) ) =2/(e^x+1/e^x )=(2e^x)/(e^2x+1)

3.- Use la definición de logaritmos para cambiar cadaexpresión logarítmica en una exponencial equivalente en los siguientes casos:

log_2⁡〖8=3〗 b) log_π⁡〖x=3〗 c) ln⁡〖x=4〗

log_2⁡〖8=3〗 ↔ 2^3=8

log_π⁡x=3 ↔ π^3=x

ln⁡〖x=4〗 ↔ log_e⁡〖x=4 ↔ e^4 〗=x

4.- Pruebe que si a>0, a≠1 y x>0 entonces log_a⁡x=-log_(1/2)⁡x

Suponiendo que log_a⁡〖x=y〗 1 esto significa que x =a^y 2

De 2se deduce que 1/x=1/a^y =[1/a]^y pero 1/x=(1/a)^y↔ log_(1/2)⁡(1/x)=y 3

De 2 y 3 se concluye que

log_a⁡x=log_(1/a)⁡(1/x)=log_(1/a)⁡1-log_(1/2)⁡x=-〖log〗_(1/a)⁡x

4.- Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones:

X . y =〖10〗^10 1
y^log⁡x =〖10〗^25 2
De la ecuación 2 se deduce que x e y son reales positivos además sepuede deducir que:

log⁡x×log⁡y=25 3 de donde log⁡〖x=25/log⁡y 〗 4
Como x e y son reales positivos se deduce de 1 que log⁡x+ log⁡y=10 5

De 4 y 5 se deduce que

25/log⁡y +log⁡y=10↔(log⁡y )^2-10(log⁡y )+25=0↔(log⁡y-5)^2=0

De donde log⁡y=5 ↔y=〖10〗^5

Sustituyendo el valor de y en la ecuación 1 se obtiene x = 〖10〗^5

5.- Resolverlas siguientes ecuaciones exponenciales

2^(2x-1)=4

2^(2x-1)=2^2

2x -1 = 2

X = 3/2

6.-

√(2x-1&3^(x-3) )=√27

3^((x-3)/(2x-1)) =3^(3/2)

(x-3)/(2x-1)=3/2

X = -3/4

7.-

4^√(x+1)-2^(√(x+1)+2)=0

2^(2√(x+1))=2^(√(x+1)+2)

2√(x+1)=√(x+1)+2

X=3

8.-

3^(x^2-1)=134

log⁡3(x^2-1) = log⁡134

(x^2-1) log⁡3=log⁡134

x^2-1 =log⁡134/log⁡3 = 4,4582

x^2 = 5,4582
X = ±2,336

9.-

4^x.2=3^x.243

(4/3)^x=243/2

log_(4/3)⁡〖(4/3)^x 〗= log_(4/3)⁡〖243/2〗

〖x .log〗_(4/3)⁡(4/3) = log_(4/3)⁡〖243/2〗

X = log⁡〖243/2〗/log⁡〖4/3〗 = 16,685

10.-

4^(x-1)+2^(x+2)=48

2^(2x-2)+2^(x+2)=48 ↔ 2^2x/4+4 .2^x-48=0 t=2^x

t^2+16t-192=0 t=8
t=-24

8=2^xX=3

11.-

4^3x=8^x+3

(2^2 )^3x=2^3x+3

2^3x=t
t^2-t-3=0 t=(1±√3)/2

2^3x=(1+√3)/2

3xlog⁡〖2=log⁡〖(1+√3)/2〗 〗

X = log⁡〖(1+√3)/2〗/(3 log⁡2 )= 0,441

2^3x=(1+√3)/2 no tiene solución

12.-

Encuentre el logaritmo de:
B = (xy^3)/∛(2z^4 )

log⁡〖B=log⁡〖(xy^3)/∛(2z^4 )〗 〗=log⁡(xy^3 )-log⁡∛(2z^4 )

log⁡〖x+log⁡〖y^3 〗 〗-1/3 log⁡〖2z^4 〗

log⁡〖x+3 log⁡〖y-1/3〗 〗[log⁡〖2+4 log⁡z 〗 ]

log⁡〖x+3 log⁡〖y-1/3〗 〗 log⁡〖2-4/3〗 log⁡z

13.-

C = √(2√(2√2) )

log⁡c=log⁡√(2√(2√2) )

1/2 log⁡2 √(2√2) =1/2 (log⁡2+log⁡√(2√2) )

1/2 (log⁡2+1/2 log⁡2 √2)=1/2 log⁡2+1/4 (log⁡2 log⁡√2 )

1/2 log⁡2+1/4 log⁡2+1/4 . 1/2 log⁡2

(1/2+1/4+1/8) log⁡2

7/2 log⁡2
14.-

4log⁡(x/5)+log⁡(625/4)=2 log⁡x

log⁡〖(x/5)^4+log⁡(625/4) 〗=log⁡〖x^2...