Logaritmos y exponentes



LOGARITMOS Y EXPONENTES
Para comprender mejor este tema, deberemos entender que estos dos términos se relacionan interdependientemente, es decir, para comprender uno podemos definirlo con base en el otro, y viceversa.
Podemos recordar que la potencia de un número n es igual multiplicar tantas veces el n como la el exponente lo indique.


Ahora bien, el logaritmo de un número, en unabase dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
Lo expresamos de la siguiente forma:


Aquí hemos explicado o mostrado las dos expresiones por separado, no obstante aún no vemos la relación que guardan, para ello será necesario explicarlo de esta forma:

El logaritmo de un número, en una base dada, es el exponente al cual se debe elevar la base para obtenerel número.




Un número a con un exponente b es igual a una potencia c, por lo tanto la operación o inversa, es un logaritmo.
Para hacer el cambio o la transformación la base de la potencia, se convierte en la base del logaritmo, el exponente b, se convierte en el logaritmo, y la potencia c se convierte en el número.

Para aclarar el concepto, podríamos decir que logaritmo es solo otraforma de expresar la potenciación. Esto significa que una potencia se puede expresar como logaritmo y un logaritmo se puede expresar como potencia.

Analicemos los siguientes ejemplos, para comprenderlo mejor:

22 = 4,
Lo leemos de la siguiente forma: la base de la potencia a (2) elevada por el exponente b (2) nos da como resultado c (4).
Por lo tanto:
El logaritmo b (2) es "elexponente" por el cual se ha elevado una base a (2) para obtener la potencia c (4).


Lo cual se lee logaritmo de “b” en base “a” es igual a “c”; o logaritmo de 4 con base 2 es igual a 2.

Otro ejemplo sería:



Que leeremos: logaritmo de 9 en base 3 es igual a 2


Las propiedades de los logaritmos son:

El logaritmo de 1 es 0, cualquiera que sea la base


El logaritmo de la base es 1El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.


Funciones exponenciales y logarítmicas
Recordemos que una función (f) es una relación entre un conjunto dado x (al que llamamos dominio) y otro conjunto de elementos y (al que llamamos codominio); de manera tal que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x)(y) del codominio.


Por lo tanto, llamaremos FUNCIÓN LOGARÍTMICA a la función en la cual
f ( x) =

Características:
El dominio de la función logarítmica estará restringido por una regla en la que tanto “a” como “b” tienen que ser mayores que 0.
a a > 0 y b > 0
la función logarítmica no va a poder tomar valore de x que sean menores que 0 o cero.
D: {x/x > 0}
La imagen de estedominio van a ser todos los números reales.
I: R
D: {x є R/ x > 0}
El dominio queda de la siguiente forma, dominio es todos los números pertenecientes a los reales, siendo x mayor que 0

FUNCIÓN CON BASE ENTERA
Realicemos la tabla de valores para x y f(x), y tomemos valores para x iguales a 1, 2,


La función analizada será

Para el valor de x 1 =
x = 2
x = 3
x = 4Realiza la gráfica correspondiente, y verás una curva como la que se muestra a continuación.
A esta función le llamamos función creciente.








Si a la función anterior, comenzamos a colocarle valores de x mayores que cero pero menor que 1, es decir, valores fraccionales: 0 < x < 1, la función comenzaría a bajar.

La función complementaria será

x = 1/2
x = 1/4




Aquínos vamos encontrando con una asíntota, la cual la podemos definir de la siguiente forma:
Asíntota: recta a la cual la función se va aproximando indefinidamente sin tocar un eje (en este caso el correspondiente al codominio), cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Esto podemos expresarlo de la siguiente forma:
Cuando en una función logarítmica x tiende a 0,...