logaritmos

Páginas: 6 (1330 palabras) Publicado: 9 de abril de 2013
1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

1

Logaritmos.
1.

Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´ sicos:
a
Operaciones b´ sicas con n´ meros reales.
a
u
Propiedades de las potencias.
Ecuaciones.
Ser´a conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.
ı

2.

Logaritmo de un numero.
´

Definici´n: El logaritmo de un n´ mero n en base a se define como el n´ mero al que hay que elevar a para
o
u
u
obtener el n´ mero n.
u
ay = x ⇒ loga x = y

Por ejemplo:
22 = 4 ⇒ log2 4 = 2
Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el n´ mero al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 (log2 4 = 2).
u
23 = 8 ⇒ log2 8 = 3
Dos elevado a 3 es 8, por lo tanto, el n´ mero al que hay que elevar a 2para obtener 8 es 3 (log2 8 = 3). Otros
u
ejemplos son:
24 = 16 ⇒ log2 16 = 4
32 = 9 ⇒ log3 9 = 2

33 = 27 ⇒ log3 27 = 3

104 = 10000 ⇒ log10 10000 = 4
El logaritmo es, por tanto, la operaci´ n inversa a la potencia, igual que la divisi´ n es la operaci´ n inversa del
o
o
o
producto.
Hay que tener en cuenta que:

1
an
Esto es muy importante cuando hay decimales en el logaritmo. Porejemplo:
a−n =

10−4 =

1
= 0,0001 ⇒ log10 0,0001 = −4
104

´
2 LOGARITMO DE UN NUMERO.

2

1
= 0,25 ⇒ log2 0,25 = −2
22
Piense el lector, ayud´ ndose de las propiedades de las potencias, los siguientes logaritmos:
a
2−2 =

log2 1 = 0
log3 1 = 0
log5 1 = 0
Esto es porque una de las propiedades de las potencias es a0 = 1.
Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos:1. log2 16 =
2. log3 81 =
3. log10 0,001 =
4. log2 0,5 =

Es importante recordar que:
1. S´ lo est´ definido para valores positivos. As´, por ejemplo, el logaritmo de -2 no existe, independienteo
a
ı
mente de la base. log2 −2 = No existe.
2. El logaritmo de 0 no existe, independientemente de la base. log2 0 = No existe.
3. El resultado de un logaritmo puede ser cualquier n´ mero. Esto seexpresa diciendo que la imagen de la
u
funci´ n logaritmo est´ dada por Im f (x) = (−∞, ∞).
o
a
Definici´ n: Los logaritmos en base 10 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poo
niendo el logaritmo sin la base:
log x = log10 x

Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos:
1. log 10000 =
2. log 100 =
3. log 0,001 =
4. log 0,01 =
5. log −0,01 =

´
2LOGARITMO DE UN NUMERO.

3

Al igual que π = 3,14159... es un n´ mero importante dentro de las matem´ ticas, existe otro n´ mero muy
u
a
u
importante, el n´ mero e, cuyo valor es e = 2,71828182845904523536...
u

Definici´ n: Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poo
niendo el s´mbolo ln:
ı
ln x = loge x

2.1.

Propiedades de loslogaritmos.

Los logaritmos tienen la propiedad de convertir las multiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las
potencias en multiplicaciones y la ra´ces en divisiones.
ı
Propiedad:
loga (x · y ) = loga x + loga y
Por ejemplo:
log2 (4 · 16) = log2 4 + log2 16 = 2 + 4 = 6
Propiedad:

x
y

loga

= loga x − loga y

Por ejemplo:
log2

4
16

= log2 4 − log2 16 = 2 − 4 =−2

Propiedad:
loga (xy ) = y loga x
Por ejemplo:
log2 42 = 2 log2 4 = 2 · 2 = 4
Propiedad:


1
loga ( y x) = loga x
y

Por ejemplo:
log2


3

4=

2
1
log2 4 =
3
3

´
3 ECUACIONES LOGARITMICAS.

4

Propiedad:
loga x =

logb x
logb a

Esta propiedad es muy interesante para poder calcular el logaritmo en una base, partiendo de otra base distinta.
Por ejemplo,se sabe que el log3 9 = 2 y log3 27 = 3 el log9 27 ser´a:
ı
log9 27 =

3
log3 27
=
log3 9
2

A veces aparecen expresiones en las que habr´ que usar varias de las propiedades:
a
1
x · y2
log √ = log x + 2 log y − log z
3
z
3

Ejercicios:
1. Comprobar las siguientes operaciones con logaritmos. Usar las propiedades de los logaritmos vistas en
este apartado:
a) log2 (16 · 32)...
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