Logaritmos

UNITAT 9 Derivades. Tècniques de derivació
4. Repàs teòric: propietats dels logaritmes

Pàg. 1 d’1

L O G A R I T M E S . P R O P I E TAT S
Si a > 0 i a ≠ 1, s’anomenalogaritme en base de a de P, i es designa loga P, l’exponent a què cal elevar la
base a per obtindre P.
loga P = x ï ax = P
Per exemple:
log2 8 = 3 perquè 8 = 23,

log2

1
11
= –3 perquè
= 3 = 2–3
8
8
2

log5 25 = 2 perquè 25 = 52,

log5

1
1
1
= –2 perquè
= 2 = 5–2
25
25
5

log10 10 000 = 4 perquè 10 000 = 104

log10 0,0001 =– 4 perquè 0,0001 = 10–4

Et fem observar que els nombres que són potències exactes de la base tenen logaritmes enters. Els altres, tenen logaritmes amb part decimal.
Perexemple:

8

…

log2

11
log2

3

…

16
log2

3,…

4

El log2 11 és un nombre decimal la part entera del qual és 3.

Propietats dels logaritmes
1 Dos nombresdiferents tenen logaritmes diferents. És a dir:

Si P ≠ Q, aleshores loga P ≠ loga Q.
A més, si a > 1 i P < Q, loga P < loga Q.
2 El logaritme de la base és es 1: loga a = 1,perquè a1 = a
3 El logaritme d’1 es 0, siga quina siga la base: loga 1 = 0, perquè a0 = 1
4 El logaritme d’un producte és igual a la suma dels logaritmes dels factors:

loga (P ·Q ) = loga P + loga Q
5 El logaritme d’un quocient és igual al logaritme del numerador menys el del denominador:

loga

( )

P
= loga P – loga Q
Q

6 El logaritmed’una potència és igual a l’exponent pel logaritme de la base de la potència:

loga P n = n log a P
7 El ogaritme d’una arrel és igual al logaritme del radicand dividit per l’índex:n

loga √P =

loga P
n

8 Canvi de base. El logaritme en base a d’un nombre es pot obtindre a partir de logaritmes en una altra base:

loga P =

logb P
logb a