Logaritmos

Unidad : LOGARITMOS
2° medio
6 de mayo 2014

• Cuando trabajamos con raíces, vimos la
forma de escribirla como una potencia en
donde el exponente era una fracción, de
3

4
3

esta forma:
54 = 5
• Entonces, concluimos que las raíces son un
tipo de potencia y que podíamos usar todas
las propiedades de potencias en raíces.

• Analicemos la siguiente expresión: 47 = 16.384,podemos observar que:
• 16.384 es la séptima potencia de 4, es decir, el
resultado de multiplicar 7 veces el 4 por sí
mismo.
• 4 es el número que, multiplicado 7 veces por sí
mismo, da como resultado 16.384. Es decir, 4 es
la raíz séptima de 16.384
• 7 es el número al cual debemos elevar 4 para
obtener 16.384. Decimos que 7 es el logaritmo
de 16.384 en base 4.
3

En general:

• Loslogaritmos hacen una operación inversa a
las potencias, y consiste en calcular el
exponente cuando se conocen la base y la
potencia.

4

Conceptos sobre logaritmos
• Logaritmos es un exponente y puede se cualquier número
real, es decir b puede ser o tomar cualquier valor.

0
• La base de los logaritmos “a” es un número real positivo y
diferente de 1.

0

1

• Sólo tienen logaritmolos números reales positivos. Es
decir, c > 0. ¿ Por qué?

0

5

Expresión de los logaritmos
• Los logaritmos se expresan de dos formas: Forma
exponencial y forma logarítmica. Estas expresiones
son equivalentes entre sí.

N se denomina antilogaritmo

6

Ejemplos
Para calcular el valor de cada logaritmo, lo que
debemos hacer es utilizar la expresión dada
anteriormente, de estaforma:
log2(8)= 3
log3(5)= m
log4(64)= 3

log10(0,1)= -1
7

Ejercicios
• Escriba cada
logaritmo como
potencia
1. 𝑙𝑜𝑔9 6561 = 4
2. 𝑙𝑜𝑔10 1000000 = 6

3.
4.
5.

1
𝑙𝑜𝑔9 = −2
81
125
𝑙𝑜𝑔5
=3
343
7

5
𝑙𝑜𝑔13
5 13

= −1

• Escriba cada potencia
como logaritmo
1. 93 = 729
2. 65 = 7776

3.

2−6

=

4. 5−3 =

5.

5 5
6

1
64
1
125

=

3125
7776
8Ejercicios
• Calcular los
siguientes logaritmos
1. 𝑙𝑜𝑔2 32 =
2. 𝑙𝑜𝑔3 27 =
3. 𝑙𝑜𝑔5 125 =

4. 𝑙𝑜𝑔1 8 =
2

5. 𝑙𝑜𝑔1 3125 =

• Calcular los siguientes
antilogaritmos
1. 𝑙𝑜𝑔9 𝑥 = 3
2. 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 = 2
3. 𝑙𝑜𝑔5 𝑥 =4
4. 𝑙𝑜𝑔7 𝑥 = 3
5. 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 = 4

5
9

Propiedades generales de los
logaritmos
1) El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a
cero.

Ejemplos:

1) log 5 1  0
2)log 7 1  0
10

Propiedades generales de los
logaritmos
2) El logaritmo de la base es igual a la unidad.

Ejemplos:

1) log 6 6  1
2) log

2

2 1
11

Propiedades generales de los
logaritmos
3) El logaritmo de un producto es igual a la suma de
los logaritmos de los factores.

Ejemplos:

1) log 2 7  5  log 2 7  log 2 5
2) log5 25  4  log5 25  log5 4
12Ejercicios
1) 𝑙𝑜𝑔32 1 =
2) 𝑙𝑜𝑔87 87 =

3) 𝑙𝑜𝑔32 1 + 𝑙𝑜𝑔32 32 =
4) 𝑙𝑜𝑔1 0,25 =
2

13

Propiedades generales de los
logaritmos
4) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Ejemplos:

1
1) log 2    log 2 1  log 2 6
6
 10 
2) log5    log 5 10  log 5 5
5

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Propiedades generales de los
logaritmos
5) Ellogaritmo de una potencia es igual al exponente
por el logaritmo de la base.

Ejemplos:

1) log 2 63  3log 2 6
2) log 5 54  4 log 5 5
15

Propiedades generales de los
logaritmos
6) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
radicando dividido entre el índice.

Ejemplos:

log 3 12
1) log 3 12 
2
log 5 6
4
2) log 5 6 
4

16

Sistema Logarítmico Decimal
• Cuando labase del logaritmo es 10, hablamos de
un logaritmo decimal podemos encontrar las
siguientes notaciones:

𝑙𝑜𝑔10 x = log x
17

• Los únicos números de este sistema cuyos
logaritmos son enteros son las potencias de 10.
Así:
𝑙𝑜𝑔10 10 = 1
𝑙𝑜𝑔10 100 = 2
𝑙𝑜𝑔10 1000 = 3
𝑙𝑜𝑔10 10000 = 4

𝑙𝑜𝑔10 0,1 = −1
𝑙𝑜𝑔10 0,01 = −2
𝑙𝑜𝑔10 0,001 = −3
𝑙𝑜𝑔10 0,0001 = −4

18

• El logaritmo...