logaritmos

1 CONOCIMIENTOS PREVIOS.

1

Logaritmos.
1.

Conocimientos previos.
Antes de iniciar el tema se deben de tener los siguientes conocimientos b´asicos:
Operaciones b´asicas con n´umeros reales.
Propiedades de las potencias.
Ecuaciones.
Ser´ıa conveniente realizar un ejercicio de cada uno de los conceptos indicados anteriormente.

2.

Logaritmo de un numero.
´

Definici´on: Ellogaritmo de un n´umero n en base a se define como el n´umero al que hay que elevar a para
obtener el n´umero n.
ay = x ⇒ loga x = y

Por ejemplo:
22 = 4 ⇒ log2 4 = 2
Dos elevado a dos es 4, por lo tanto, el n´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 4 es 2 (log2 4 = 2).
23 = 8 ⇒ log2 8 = 3
Dos elevado a 3 es 8, por lo tanto, el n´umero al que hay que elevar a 2 para obtener 8 es 3 (log28 = 3). Otros
ejemplos son:
24 = 16 ⇒ log2 16 = 4
32 = 9 ⇒ log3 9 = 2

33 = 27 ⇒ log3 27 = 3

104 = 10000 ⇒ log10 10000 = 4
El logaritmo es, por tanto, la operaci´on inversa a la potencia, igual que la divisi´on es la operaci´on inversa del
producto.
Hay que tener en cuenta que:

1
an
Esto es muy importante cuando hay decimales en el logaritmo. Por ejemplo:
a−n =

10−4 =

1
=0,0001 ⇒ log10 0,0001 = −4
104

´
2 LOGARITMO DE UN NUMERO.

2

1
= 0,25 ⇒ log2 0,25 = −2
22
Piense el lector, ayud´andose de las propiedades de las potencias, los siguientes logaritmos:
2−2 =

log2 1 = 0
log3 1 = 0
log5 1 = 0
Esto es porque una de las propiedades de las potencias es a0 = 1.
Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos:
1. log2 16 =
2. log3 81 =
3. log100,001 =
4. log2 0,5 =

Es importante recordar que:
1. S´olo est´a definido para valores positivos. As´ı, por ejemplo, el logaritmo de -2 no existe, independientemente de la base. log2 −2 = No existe.
2. El logaritmo de 0 no existe, independientemente de la base. log2 0 = No existe.
3. El resultado de un logaritmo puede ser cualquier n´umero. Esto se expresa diciendo que la imagen de lafunci´on logaritmo est´a dada por Im f (x) = (−∞, ∞).
Definici´on: Los logaritmos en base 10 reciben el nombre de logaritmos decimales. Se suelen representar poniendo el logaritmo sin la base:
log x = log10 x

Ejercicios: Calcular los siguientes logaritmos:
1. log 10000 =
2. log 100 =
3. log 0,001 =
4. log 0,01 =
5. log −0,01 =

´
2 LOGARITMO DE UN NUMERO.

3

Al igual que π = 3,14159...es un n´umero importante dentro de las matem´aticas, existe otro n´umero muy
importante, el n´umero e, cuyo valor es e = 2,71828182845904523536...

Definici´on: Los logaritmos en base e reciben el nombre de logaritmos neperianos. Se suelen representar poniendo el s´ımbolo ln:
ln x = loge x

2.1.

Propiedades de los logaritmos.

Los logaritmos tienen la propiedad de convertir lasmultiplicaciones en sumas, las divisiones en restas, las
potencias en multiplicaciones y la ra´ıces en divisiones.
Propiedad:
loga (x · y) = loga x + loga y
Por ejemplo:
log2 (4 · 16) = log2 4 + log2 16 = 2 + 4 = 6
Propiedad:

x
y

loga

= loga x − loga y

Por ejemplo:
log2

4
16

= log2 4 − log2 16 = 2 − 4 = −2

Propiedad:
loga (xy ) = y loga x
Por ejemplo:
log2 42 = 2 log2 4 =2 · 2 = 4
Propiedad:

√
1
loga ( y x) = loga x
y

Por ejemplo:
log2

√
3

4=

2
1
log2 4 =
3
3

´
3 ECUACIONES LOGARITMICAS.

4

Propiedad:
loga x =

logb x
logb a

Esta propiedad es muy interesante para poder calcular el logaritmo en una base, partiendo de otra base distinta.
Por ejemplo, se sabe que el log3 9 = 2 y log3 27 = 3 el log9 27 ser´ıa:
log9 27 =

3log3 27
=
log3 9
2

A veces aparecen expresiones en las que habr´a que usar varias de las propiedades:
1
x · y2
= log x + 2 log y − log z
log √
3
z
3

Ejercicios:
1. Comprobar las siguientes operaciones con logaritmos. Usar las propiedades de los logaritmos vistas en
este apartado:
a) log2 (16 · 32) = 9

b) log3 (81 · 27) = 7

c) log(0,0012 ) = −6

d) log x · y · z =...