LOGARITMOS

Logaritmos y Numeros complejos
Logaritmos
Si b es un n´
umero real positivo distinto de 1, se dice que x = logb a si bx = a. Al logaritmo de base e lo
representaremos habitualmente por ln y sellama logaritmo neperiano. Al logaritmo de base 10 lo representaremos
por log. Se cumplen las propiedades siguientes:
logb (ac) = logb a + logb c;

logb

a
ln a
= logb a − logb c; logb (ac ) = clogb a; logb a =
c
ln b

N´
umeros complejos
Se llama unidad
imaginaria a un n´
umero i que verifica i2 = −1, aunque a veces, abusando del lenguaje escribi√
remos: i = −1.
Un n´
umerocomplejo es una expresi´on del tipo z = a + bi, donde a, b ∈ R
a se llama parte real y si a = 0 se dice que z es imaginario puro.
b se llama parte imaginaria y si b = 0 se dice que z es un n´
umeroreal.
El conjugado de z es el n´
umero complejo z¯ = a − bi.

Operaciones
Suma y diferencia (a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i.
Multiplicaci´on (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i.Divisi´on (a + bi)/(c + di) =
Potencia (a + bi)n =

ac+bd
c2 +d2

n
n
k=0 k

+

bc−ad
c2 +d2 i.

ak bn−k in−k .

Representaci´
on geom´
etrica
Cada n´
umero complejo a + bi se puedeidentificar con el par (a, b) del plano real R2 ; es decir con un punto del
plano y se puede representar gr´aficamente como el extremo del vector (a, b).

El m´odulo de un n´
umero complejo z = a+ bi es |z| =
(a, b).

√

a2 + b2 y geom´etricamente es la longitud del vector

Coordenadas polares
x = ρ cos θ; y = ρ sen θ. Donde ρ = x2 + y 2 y θ = arctan xy .
Un n´
umero complejo sepuede expresar en forma trigonom´etrica como:
a + bi = ρ cos θ + iρ sen θ = ρ(cos θ + i sen θ)
y tambi´en en forma polar como: z = ρθ . Algunas operaciones se simplifican en forma polar:

Si z = ρθy w = µα entonces:
zw = (ρµ)θ+α ;

z
=
w

ρ
µ

; z n = ρnnθ
θ−α

Cada n´
umero complejo z = ρθ tiene n ra´ıces n-´esimas:
√
n

z=

√
n

θ + 2kπ
√
, k = 0, 1, . . . , n − 1}...