Logaritmos

LOGARITMOS

Dado un número real a positivo, no nulo y distinto de 1, (a > 0; a  0; a  1), y un número N positivo y no nulo (N > 0; N  0), se llama logaritmo en base a de N al exponente x al que hay que elevar dicha base para obtener el número.
 
Para indicar que x es el logaritmo en base a de N se escribe:
 
logaN = x
 
y selee «logaritmo en base a de N es igual a x».
 
Por lo tanto, logaN = x (notación logarítmica) equivale a decir que ax = N
(notación exponencial).
 
Notación logarítmica Notación exponencial

 

 

 
 
Consecuencias de la definición de logaritmo
1. El logaritmo de 1, en cualquier base, es 0: loga 1 = 0, yaque a0 = 1
 
2. El logaritmo de un número igual a la base es 1: loga a = 1, ya que a1 = a
 
3. El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al exponente de la potencia: loga am = m, ya que am = am
 
4. No existe el logaritmo en cualquier base de un número negativo o cero.
 
5. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente,01.
 

 
6. El logaritmo de un número N mayor que cero y menor que 1, estrictamente, 0  

 
7. El logaritmo de un número N>1 es positivo si la base es a>1.
 
Así, log3 9 = 2; ya que 32 = 9
 
8. El logaritmo de un número N>1 es negativo si la base es a<1.
 



Propiedades de loslogaritmos
 
1. Logaritmo de un producto
 
El logaritmo de un producto de dos números es igual a la suma de los logaritmos de cada uno de ellos.
loga(X · Y)= loga X + loga Y
 
 
Demostración:
 
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y.
loga(X · Y)= loga (ax · ay) = loga ax+y = x + y = loga X + loga Y
 Este resultado se puede generalizar para más de dos factores.
Si X1, X2, X3, ..., Xn son n números reales, positivos y no nulos,
 
loga(X1 · X2 ... Xn)= loga X1 + loga X2 + ... + loga Xn
 
2. Logaritmo de un cociente
 
El logaritmo de un cociente de dos números es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.
 

 Demostración:
 
Sea loga X = x; esto significa que ax = X
Sea loga Y = y; esto significa que ay = Y
 

 
3. Logaritmo de una potencia
 
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
 
loga Xn = n loga X
 
Demostración:
 
Sea loga X = x; esto significa que ax = X.loga Xn = loga (ax)n = loga anx = nx = n loga X
 
 
4. Logaritmo de una raíz
 
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido entre el índice de la raíz.
 

 
Demostración:
 
Este es un caso particular del apartado anterior, logaritmo de una potencia.
 

 
Obsérvese que las propiedades anteriores se refieren allogaritmo de un producto, un cociente, una potencia y una raíz, pero nada se ha dicho sobre el logaritmo de una suma o una resta. El logaritmo de una suma o de una resta no admite desarrollo.
 
Logaritmos: ejercicios
1) Hallar el logaritmo de:
a) log2 4 =                                               
b) log3 27 =
c) log2 16 =
d) log5 125 =
e) log3 243 =
f) log2 0,5 =
g) log2 0,25 =
h) log20,125 =
i) log6 216 =
j) log 100000 =
Rta.: a) 2, b) 3, c) 4, d) 3 e) 5, f) – 1, g) – 2, h) – 3, i) 3, j) 5
2) Resolver aplicando las propiedades de logaritmos.
a) log (5 . 3) =
b) log (23 . 3) =
c) log (7 : 3) =
d) log (2 . 3 : 4)5 =
e)
Rta.: a) log 5 + log 3,  b) 3. log 2 + log 3,  c) log 7 – log 3, d) 5. (log 2 + log 3 – log 4), e) ½ (log 3 + log 5) – log 2.
3) Cambio de base:
a) log2 5...

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