LOGARITMOS

LOGARITMOS
Preparado por: Prof. Evelyn Dávila
DEFINICIÓN DE LOGARITMOS

Propiedades de los logarítmos:

a = bx  log b a = x

Ejemplos

Práctica

1. log 2 8 = 3 si 2 3 = 8

I Expresa los siguientes logaritmos en su
notación exponencial.

2. log 3 1/9 = -2 si 3 -2 = 1/9
1. log 64 4 = 1/3

3

3. log 10 1000 = 3 si 10 = 1000
4. 53 = 125 si log5 125 = 3

2. log 13 13 = 1
3. log 1/3 27 = -3

5. 4 1/2= 2 si log42 = 1/2
6. 10-2 = 1/100 si log10 1/100 = -2

II Expresa los siguientes exponentes en su
forma logarítmica
1. 4 3 = 64
2. 8 -2 = 1/64
3. 25 1/2 = 5
III Evalúa los siguientes logaritmos.
1. log 8 8 =
2. log 8 1 =
3. log 2 32 =

Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es
diez.
Ejemplo

2
Si log 100  x , entonces x = 2, porque la base es diez ytenemos 10  100

Llamamos logaritmo natural ,

ln , a un logaritmo cuya base es e ( e  2.71828).

1
Ejemplo Si ln 2.718 = x entonces x =.99998, porque la base es e, e  e

Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en
la calculadora.
4. ln 27 
5. ln 3 
6. ln 0.5 

1. log 35 
2. log 0.4 
3. log 80 

Su calculadora solo puede calcular logaritmos naturales obase 10, por lo tanto ,si desea
resolver un logaritmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base.
FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE
Si u > 0 y si a y b son números reales Ejemplo
positivos distinto de uno, entonces

log 2 5 

log a u
logb u =
log a b

log 5
 2.322
log 2

Resuelve las siguientes ecuaciones.
1. log 9 .3 = x
2. log 2 20 = p

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Leyes de loslogaritmos:
Sean M y N valores positivos,

b0

I

y b  1. , entonces:

Simplifica las siguientes expresiones
expresándolas en término de un solo
logaritmo de ser posible.
1. log b ( x+1) - log b (x+2)

log b MN  log b M  log b N
2. log b x + 2 log b (x-1)

M
log b
 log b M  log b N
N
II
III

log b N k  k log b N

3. log b (x-1) + log b 3 - log b (x+1)
4. 2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x)

Resolver lassiguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos.
PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS
#1 Aplicar las propiedades de logaritmos que sean necesarias para expresar la ecuación
con un solo logaritmo.
#2 Simplificar de ser necesario
#3 Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos.
#4 Despejar para la variable
#5 Verificar que elargumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.

1. log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2
#1 Utilizamos la propiedad de la multiplicación

log 8 [( x  6)( x  6)]  2
#2 Expandimos el argumento del logaritmo

( x  6)( x  6)  x 2  36
#3 Utilizar la definición de logaritmos

log 8 ( x 2  36)  2
8 2  x 2  36
x 2  36  64
#4 Resolver la ecuación

x  36  64
2

x 2  100
x   100x  10, x  10

#5 IMPORTANTE Por definición el argumento
de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto
verificamos las respuestas en el logaritmo
correspondiente y la solución serán los valores
que cumplan con la definición

log 8 ( x  6)  log 8 ( x  6)  2
si x  10,
( x  6)  (10  6)  0
( x  6)  (10  6)  0

x  10 es solución de la ecuación
si

x  10,

( x  6)  (10  6)  0
(x  6)  (10  6)  0

x  10 no es Solución de la ecuación
2. log ( x 3 - 1 ) - log (x2 + x + 1 ) = 1

4. log 2 4 = 0
x-2

5. log x + log 5 = 2
3. log 3 2x - log 3 (x + 5 ) = 0

ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS
Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se
utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución.EJEMPLO 1

3 x  17
log 3 17  x
log 17
log 3
1.23
x
 2.56
.48
x

EJEMPLO 2

1. Aplica la
definición de
logaritmo.
2. Se evalúa el
logaritmo
usando la
fórmula de
cambio de
base.

3 x2  7
log 3 x  2  log 7
( x  2) log 3  log 7
( x  2) log 3 log 7

log 3
log 3
.85
x2
.48
x  1.77  2
x  .23

1. Aplica la definición
de logaritmo.
2. Aplica la
propiedad del
exponente.
3. Despejar para...