Logica Conjuntos

Lógica y Conjuntos
Leonel E. Badilla Araya
Universidad de Concepción
Departamento de Ingeniería Matemática

Matemática I

L. Badilla (UdeC)

Mate

1/1

Lógica

Conceptos Primitivos

Los valores de verdad VERDADERO (V) y FALSO (F) son los conceptos
primitivos de la lógica.
Proposición: Una proposición es una sentencia declarativa (que afirma o niega
algo de algún sujeto) que posee un único valorde verdad, pudiendo ser verdadera
(V) o bien ser falsa (F).
Usualmente se denotan por letras minúsculas p, q, r, s, etc.

L. Badilla (UdeC)

Mate

2/1

Lógica

Conceptos Primitivos

Conectivos Lógicos
Un conectivo lógico es un operador que nos permite obtener nuevas proposiciones a
partir de otras dadas. Los conectivos básicos son:
Negación: ∼.
Conjunción: ∧.
Disyunción: ∨.
Condicional: →.Bicondicional: ↔.

L. Badilla (UdeC)

Mate

3/1

Lógica

Conceptos Primitivos

Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, las que no
incluyen conectivos lógicos, y las que sí los incluyen.
Para dos proposiciones dadas, los valores posibles son
p
V
V
F
F

L. Badilla (UdeC)

q
V
F
V
F

Mate

4/1

Lógica

Conectivos Lógicos

Negación
Dada una proposiciónp, se llama negación de p, y se escribe ∼ p, a la proposición “no
p”.
Esto significa que ∼ p es V si p es F, y ∼ p es F si p es V.
TABLA DE VERDAD
p
V
F

L. Badilla (UdeC)

∼p
F
V

Mate

5/1

Lógica

Conectivos Lógicos

Conjunción
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunción de ellas es la proposición “p y q”, la cual
se escribe p ∧ q.
Así, p ∧ q es V si ambas lo son, y es F si al menos una deellas lo es.
TABLA DE VERDAD
p
V
V
F
F

L. Badilla (UdeC)

q
V
F
V
F

p∧q
V
F
F
F

Mate

6/1

Lógica

Conectivos Lógicos

Disyunción
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de ellas es la proposición “p o q”, la cual
se escribe p ∨ q.
Así, p ∨ q es V si al menos una de ellas lo es, y es F si ambas lo son.
TABLA DE VERDAD
p
V
V
F
F

L. Badilla (UdeC)

q
V
F
V
F

p∨q
V
V
V
F

Mate

7/1

LógicaConectivos Lógicos

Condicional
Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposición “si p entonces
q”, la cual se escribe p → q.
También, p → q se lee como “p es condición suficiente para q”, o bien como “q es
condición necesaria para p”.
Así, p → q es F sólo si p es V y q es F.
TABLA DE VERDAD
p
V
V
F
F

L. Badilla (UdeC)

q
V
F
V
F

p→q
V
F
V
V

Mate

8/1

LógicaConectivos Lógicos

Bicondicional
Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposición “p si y sólo si
q”, la cual se escribe p ↔ q.
También, p ↔ q se lee como “p es condición necesaria y suficiente para q”.
Así, p ↔ q es V sólo si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.
TABLA DE VERDAD
p
V
V
F
F

L. Badilla (UdeC)

q
V
F
V
F

p↔q
V
F
F
V

Mate

9/1

LógicaDefiniciones

Una proposición compuesta se dice una:
TAUTOLOGÍA (o TEOREMA LÓGICO), si ella es siempre V, cualesquiera sean
los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen, es decir, si
su tabla de verdad sólo contiene valores resultantes V.
CONTRADICCIÓN, si ella es siempre F.
CONTINGENCIA, si no es tautología ni contradicción.

L. Badilla (UdeC)

Mate

10 / 1

Lógica

DefinicionesImplicancia y Equivalencia Lógicas
Implicación Lógica: Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica
lógicamente a q, si la proposición p → q es una tautología. En tal caso se escribe
p ⇒ q y se lee “p implica q”.
Equivalencia lógica: Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son
lógicamente equivalentes, si la proposición p ↔ q es una tautología. En tal caso
se escribe p ⇔ q y se lee “pes equivalente a q”.

L. Badilla (UdeC)

Mate

11 / 1

Lógica

Algunas Tautologías Importantes

∼ [∼ p] ⇔ p
p∨q⇔q∨p
p∧q⇔q∧p
p↔q⇔q↔p
p ∨ [q ∨ r] ⇔ [p ∨ q] ∨ r
p ∧ [q ∧ r] ⇔ [p ∧ q] ∧ r
p ↔ [q ↔ r] ⇔ [p ↔ q] ↔ r

L. Badilla (UdeC)

p ∧ [q ∨ r] ⇔ [p ∧ q] ∨ [p ∧ r]
p ∨ [q ∧ r] ⇔ [p ∨ q] ∧ [p ∨ r]
∼ [p ∧ q] ⇔∼ p∨ ∼ q
∼ [p ∨ q] ⇔∼ p∧ ∼ q
p → q ⇔∼ p ∨ q
p ↔ q ⇔ [p → q] ∧ [q → p]

Mate

12 / 1...