Logica Matematica Ejercicios Resueltos

TEMA 1 TEORIA DE CONJUNTOS.

Esta forma de representar los conjuntos mediante diagramas fue creada por el matemático y filósofo británico John Venn en 1880. Estos diagramas muestran a los conjuntos como círculos o bolas, y su posición y configuración va a depender de sus elementos o miembros, y de la operación que se esté trabajando.Por ejemplo si los conjuntos tienen elementos en común, estosse presentan solapándose (entrelazados) uno sobre el otro, de la siguiente forma: (No olvide que existen dos posibilidades más: Disjuntos y cuando existe la inclusión)

El rectángulo o cuadrado que contiene los conjuntos está representando el Conjunto Universal o Referencial.

Operaciones con diagramas de Venn:
La operaciones de unión, intersección, diferencia, complemento, etc. permitenrepresentarse e interpretarse a través de los diagramas de Venn, permitiendo mayor comprensión de las mismas, por ejemplo:

Dados los Conjuntos: A = {3, 5, 7, 9}; B = {1, 2, 3, 4, 5}; C = {4, 5, 6, 7, 8}.
La operación de unión entre los conjuntos A y B es: A U B.
Se observa que: A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}

Escriba para B U C = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Y para A U B U C = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}La Intersección entre conjuntos, mediante diagramas de Venn se representa resaltando la zona en común, es decir, la parte solapada en donde tienen elementos en común. Tomando los mismos conjuntos A, B, y C:A ∩ B = {3, 5}.

Y la intersección entre los tres conjuntos A ∩ B ∩ C= {5}

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La diferencia de conjuntos se obtiene resaltando únicamente los elementos del primer conjunto, sinconsiderar los elementos que puedan tener en común con el otro conjunto (es decir sin considerar la intersección entre los conjuntos).

Siguiendo con los conjuntos A, B y C, veamos las siguientes operaciones de diferencia:

* A – B= {9,7}

* B – A = {1,2,4}

En la Diferencia Simétrica de Conjuntos se consideran todos los elementos que hacen parte de los elementos que se esténoperando, excluyendo (sin tener en cuenta) los que hacen parte de la intersección.

Por ejemplo, considerando los mismos conjuntos A, B, y C:

A B
C.
C.

Por lo tanto el conjunto solución lo conforman únicamente los elementos 9, 7, 1, 2, y 4. Por eso A B = {9, 7, 1, 2, 4}. Halle: AC y C B.SIENDO C = {4, 5, 6, 7, 8}.

AC = {9,4,6,8}
C B = {1,2,6,8,}

Respecto a los números o conjuntosnuméricos, tenemos el siguiente diagrama o mapa. Le servirán de guía, para resolver los ejercicios que se proponen a seguidas de cada mapa.

1.-) En el Universo Z. Halle el conjunto NC.NC= {-Z,0}

2.-) Señale las entre relaciones dadas las verdaderas y las falsas. Justifique su respuesta en cada caso.
a) U = Z → (N ∩ NC) = Z; (V)
b)U = Z →(N ∩ NC) = {Z}; (V)
c) U = Z → (Z–NC) = N (V)
d) R –Q+ = I; (F)xЄQ-
e) R – Q = I; (V)
f) Q U I = R; (V)
g) Q ∩ Q+ = Q; (F)Q+ Q;Q ∩ Q+ = Q+
h) R + I = R; (V) I R
i) Q + I = R; (V)
j) Z U N = N. (F) NZ→ Z U N = Z

1.-) Ponga ejemplos, con números, de cada uno de los tipos de intervalos y represéntelos en la recta numérica.

Intervalo Abierto:

(a, b) = {x / a < x < b}

Intervalo Cerrado

[a, b] = {x/ a ≤ x ≤ b}

Intervalo Semiabierto por la Izquierda
(a, b] = {x / a < x ≤ b}

Intervalo Semiabierto por la Derecha
[a, b) = {x / a ≤ x < b}

2.-) Calcule las siguientes operaciones con intervalos:

a) [2; 5,3] U [0; 3,1]=(0;5)

b) (1, +∞) ∩ (- ∞; 5)=(2;4)

c) [1, 6)C = (-∞<1) U [6<+∞)

d) [- 7, 3) – [2, 8) = [2,3)

e) (- ∞, 1] [3, + ∞)= (- ∞, 1] U [3, + ∞)

f) [- 2, 9) – R. = (- ∞,2) U [9,+ ∞)

Sean AyBdos subconjuntos de un Conjunto UniversalU. Recordamoslas siguientes operaciones entre conjuntos de una manera simbólica:

Unión:AU B = {xЄ U: xЄA ᴠxЄB}.
Intersección:A∩B = {xЄ U: xЄA ˄xЄB}.
Diferencia:A\BA – B = {xЄ U: xЄA ˄xB}.
Complemento: AC = U – A.
Diferencia Simétrica:A∆B = (A \ B)U (B \ A)....