Logica matematica

LOGICA MATEMATICA
La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias  física  y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.

Proposiciones y operaciones lógicas.
Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es unelemento fundamental de la lógica matemática.

Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.
Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Sisímbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica.

Proposiciones condicionales.
Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
p ® q                Se lee “Si p entonces q
”
Proposición bicondicional.  
Sean p y q dos proposiciones entonces se puedeindicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:
p « q                Se lee “p si solo si q”
 
Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.

Tablas de verdad.
En estos momentos ya se está en condiciones de elaborar cualquier tabla de verdad. A continuación se presenta un ejemplo para la proposición[(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q).
 
 
p | q | r | q’ | p®q | (q’Ùr) | (p®q)Ú (q’Ùr) | r®q | [(p®q)Ú (q’Ùr) ]« (r®q) |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |0 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
 
El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2n            Donde n = número de variables distintas.

Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido delmaterial el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposicionesmás complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.
 

 
Tautología y contradicción.
Tautología, es aquellaproposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad  de sus variables. Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.
 
p | q | p’ | q’ | p®q | q’®p’ | (p®q)«(q’®p’) |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
 
Note que en las...