Logica Matematica

Introducción

La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber elsignificado correcto. En las matemáticos para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticas que puedan ser aplicados en investigaciones.
En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado un ama de casa tiene que realizarcierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha ode derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica.

La lógica matemática
Consiste en el estudio matemático e interpretación lógica de los sistemas numéricos como lo es la matemática, su objeto de estudio consiste en analizar los sistemas formales que codifican los objetos de estudios numéricos como conjuntos, números, demostraciones numéricas y la computación.Importancia de la Lógica Matemática
La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos.
Lógica de Términos
Este es el primersistema lógico, más antiguo según la historia. Fue explicado por Aristóteles en el siglo XIX. La lógica de términos puede ser afirmativa o negativa, aquí se presentan algunos ejemplos:
• Tipo A: universal y afirmativa (``todos los perros son mortales'')
• Tipo I: particular y afirmativa (``algunos ejemplos son absurdos'')
• Tipo E: universal y negativa (``ningún filósofo es rico'', o ``todos losfilósofos son no ricos'')
• Tipo O: particular y negativa (``algunos perros no son filósofos'')
Entonces, Aristóteles proponía un cuadrado de oposición que indica las incompatibilidades entre las 4 versiones de una proposición. Y dice que:
1. Al menos uno de los universales ha de ser falso
2. Las proposiciones contradictorias tienen valores de verdad opuestos
3. Los universales hacen que seanciertos sus subalternos
4. Al menos una de las 4 opciones es cierta
Esto tiene un error grave, y se ve con la proposición ``todos los S son P''. En la lógica moderna, esto no quiere decir que exista ningún S, pero Aristóteles quiere implicar que ``algunos S son P'', cosa que no cuadra ( ). A este problema le llaman problema del existencial importado.
La lógica de términos tiene otros problemasexpresivos. Por ejemplo, no hay forma de decir cosas más complicadas que el silogismo, como ``Existe un gato que se come a todos los ratones'' (tendría dos cuantificadores). El Begriffsschrift de Frege fue la primera lógica en tratar bien los cuantificadores por medio de asignaciones a variables.
Cuantificadores
Los cuantificadores nos permiten construir proposiciones a partir de funcionesproposicionales ya sea particularizando o generalizando. Ejemplifiquemos esto. Si
consideramos la función proposicional P(x): x es mayor que 0, podemos particularizar esto diciendo: Existe un número real que es mayor que 0, o generalizarlo diciendo Todos los números reales son mayores que 0.

Notemos que tanto en la particularización como en la generalización se especifica un conjunto en donde...