Logica Matematica

INTRODUCCION A LA LOGICA
Renato Lewin
Ponti¯cia Universidad Cat¶olica de Chile
I Parte { LOGICA PROPOSICIONAL
Introducci¶on
1 L¶ogica
Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a alguien
de que nuestra posici¶on o nuestras ideas son las correctas, recurrimos
a un razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones.
Este razonamiento o evidenciapresentada con el prop¶osito de demostrar algo
es un argumento. Por supuesto hay buenos y malos argumentos, en t¶erminos
muy vagos, la l¶ogica es la ciencia que trata de distinguir los buenos argumentos
de los malos argumentos.
La vaguedad de la de¯nici¶on anterior estriba en que no hemos dicho qu¶e
entendemos por \buen argumento" o \mal argumento", de hecho, ni siquiera
hemos dicho en formaprecisa qu¶e es un argumento.
Un argumento es un conjunto de una o m¶as oraciones. La ¶ultima de ellas se
denomina conclusi¶on, las anteriores se llaman premisas.
Intuitivamente, las premisas son la evidencia o razones que nos deben convencer
de la veracidad de la conclusi¶on. El argumento es la concatenaci¶on
de las primeras con la ¶ultima.
Estas Notas han sido preparadas para los cursos deL¶ogica dictados para las Licenciaturas
en Sociolog¶³a y en Filosof¶³a de la Ponti¯cia Universidad Cat¶olica de Chile.
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1
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Es habitual representar los argumentos haciendo un listado de las premisas
y la conclusi¶on, separando la ¶ultima mediante una l¶³nea.
Oraci¶on 1
Oraci¶on 2
.
.
.
Conclusi¶on
9
>
=
>
;
Premisas
>Qu¶e caracteriza a un \buen" argumento? No se trata aqu¶³ dede¯nir argumentos
convincentes en el sentido de la ret¶orica, sino aquellos que garanticen
que sus conclusiones deben ser aceptadas cuando todas las premisas han sido
aceptadas.
Un argumento es correcto si en toda situaci¶on en la que sus premisas son
verdaderas, su conclusi¶on tambi¶en lo es. En otras palabras, un argumento
es correcto si no puede producir una conclusi¶on falsa a partir depremisas
verdaderas. Si
¡
'
, es un argumento correcto, decimos que ' es consecuencia
l¶ogica de ¡.
Ni las premisas ni la conclusi¶on tienen que ser verdaderas para que el argu-
mento sea correcto. Es s¶olo que si las premisas son verdaderas, tambi¶en debe
serlo la conclusi¶on. Se puede por lo tanto tener conclusiones falsas usando
argumentos correct¶³simos.
La l¶ogica es el estudio de losargumentos correctos.
Ejemplos:
1.
Todos los hombres son mortales.
S¶ocrates es hombre.
Luego S¶ocrates es mortal.
2.
Si S¶ocrates es hombre, entonces S¶ocrates es mortal.
S¶ocrates es hombre.
Luego S¶ocrates es mortal.
2
3.
Juan ir¶a al cine o dormir¶a.
Juan ir¶a al cine.
Luego Juan no dormir¶a.
4.
Algunos hombres son mortales.
Algunos mortales son mam¶³feros.
Luego algunoshombres son mam¶³feros.
5.
T¶u ya no me quieres como antes.
6.
Somos o no somos.
7.
Ese perro ladra.
Ese perro no ladra.
Luego algunos hombres son mam¶³feros.
Los ejemplos 5 y 6 son un caso extremo de argumento en el que no hay
premisas, s¶olo conclusi¶on. Los ejemplos 1, 2, 6 y 7 son argumentos correctos.
El 6 es correcto simplemente porque su conclusi¶on no puede ser falsa. De
hecho,podemos agregar todas las premisas que queramos y el argumento
seguir¶a siendo correcto. El ¶ultimo es correcto porque no es posible que las
dos premisas sean verdaderas. Los ejemplos 1 y 2 los analizaremos m¶as
adelante.
La evidencia presentada por las premisas no es su¯ciente para a¯rmar la
conclusi¶on de los argumentos 3, 4 y 5. El argumento 3 es incorrecto porque
obviamente Juan podr¶³a iral cine y dormir all¶³. Para 4, si reemplazamos
la palabra \mam¶³fero" por \cuadr¶upedo", vemos que el argumento obtenido
es \el mismo" (ya volveremos sobre esto en la pr¶oxima secci¶on), si acepto
uno como correcto, el otro tambi¶en debe serlo. Sin embargo las premisas de
la segunda versi¶on son verdaderas y la conclusi¶on falsa. Debemos desechar
este argumento por incorrecto. No es...