Logica Matematica








1.1 PROPOSICIONES
Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
Defina proposición.
Conozca la notación para proposiciones.
Reconozca proposiciones.
Dé ejemplos de proposiciones.
Dé ejemplos de enunciados que no sean proposiciones.
La Lógica Matemática, hace uso exclusivo de expresiones que manifiestan o una verdad o una falsedad. A estasexpresiones se las llaman PROPOSICIONES.
Entonces:
PROPOSICIONES son afirmaciones a las que se les puede asignar o bien un valor de verdad de Verdadero o bien un valor de verdad de Falso.
Ejemplos
1. "Hoy es Lunes" (suponga que efectivamente estamos en el día lunes de la semana, entonces esta expresión será una afirmación verdadera).
2. "Estoy en la clase de matemáticas" (suponga que lapersona que emite esta afirmación, efectivamente está presenciando la clase de matemáticas; en este caso esta expresión será una afirmación también verdadera).
3. "Estoy en España" (suponga ahora que la persona que emite ésta frase se encuentra en Ecuador y no en España, entonces esta afirmación será una proposición falsa).
Otras expresiones, como las exclamaciones, las preguntas, deseos omandatos; no son consideradas como proposiciones por la Lógica Matemática.
Ejemplos:
1. ¡Ojalá Llueva!
2. ¿Hiciste el deber de Matemáticas?
3. Siéntate y estate quieto.

1.1.1 NOTACIÓN
De aquí en adelante adoptaremos los siguientes símbolos para el Valor de Verdad de una proposición:
VERDADERO

FALSO

Los símbolos que se adoptan para las proposiciones suelen ser las primeras letras delabecedario en minúscula.
Ejercicio Propuesto 1.1
Indique ¿cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones y cuáles no?:
a) Esta fruta está verde.
b) ¿Estás contenta?
c) Siéntate y estate quieto
d) 3 +7= 10
e) El ratón trepó a la mesa.
f) Mañana se acabará el mundo.
g) Ramón Ramírez debe pagar sus deudas a menos que quiera ir a la cárcel.
h) ¿Es feo Juan?
i) La edaddel universo es de unos 15 mil millones de años.
j) ¡Márchate!

Ahora bien en nuestro lenguaje común usamos frecuentemente proposiciones más extensas como:
No hice el deber de Matemáticas.
Estoy en Ecuador y estoy feliz.
Estudio ó juego fútbol.
Si estudio entonces sacaré buena calificación en el examen.
Surge entonces la necesidad de definir a los nexos de estas proposiciones, los llamadosConectores u Operadores lógicos.

1.2 OPERADORES (CONECTORES) LÓGICOS
Objetivos:
Se pretende que el estudiante:
Conozca la notación para los operadores lógicos.
Deduzca, con ejemplos, la esencia de los operadores lógicos y la tabla de verdad para las operaciones lógicas.
Analice e interprete las condiciones suficientes y las condiciones necesarias en una condicional.
Comprenda einterprete la recíproca, la inversa y la contrarecíproca de una condicional.
Traduzca del lenguaje común al lenguaje formal



1.2.1 NEGACIÓN
La negación se presenta con los términos:

El símbolo lógico que se emplea para traducirla es:
Aunque también se suele emplear: ~
Analicemos lo siguiente.
Ejemplos
1. suponga que estamos en el día lunes de la semana, entonces al decir:
:"Hoy es Lunes"
(será una proposición verdadera).
: "Hoy no es Lunes "
(en cambio esta proposición será Falsa).
2. suponga que no esté lloviendo, entonces al decir:
: "Está lloviendo"
(será una proposición falsa)
: "No está lloviendo"
(en cambio esta proposición será verdadera)

Si ubicamos estas observaciones en una tabla que nos indique todas estasposibilidades formamos la llamada TABLA DE VERDAD.
Que para la negación sería:


1
0
0
1
Observe que:
El operador negación cambia el valor de verdad de una proposición.

1.2.2 CONJUNCIÓN
Este operador lo tenemos cuando enlazamos proposiciones con el término y
En lenguaje formal se lo traduce con el símbolo:
Ejemplo

Consideremos las siguientes proposiciones:...