logica matematica

RESEÑA HISTÓRICA DE LA LÓGICA MATEMÁTICA

La evolución de la lógica está ligada a la evolución intelectual del ser humano, ya que como ciencia del razonamiento se puede afirmar que su historia representa la historia misma del hombre. La lógica surge desde el momento en que el hombre al enfrentarse a la naturaleza empieza a observar, experimentar, deduce y razona.
El objetivo de la lógicamatemática es cuestionar los conceptos y las reglas de deducción que son utilizadas en las matemáticas y esto constituye a la lógica una verdadera matemática.
Durante el periodo 600 AC hasta 300 AC se desarrollaron en Grecia los principios formales de las matemáticas, a este periodo se le llamo periodo clásico en donde sus principales representantes son: Platón que el introdujo sus ideas yabstracciones; Aristóteles que presento el razonamiento ductivo y sistemático y Euclides que fue el que tuvo mayor influencia ya que este estableció el método axiomático.
Platón
Platón, 427aC - 347 aC, propone instaurar en Siracusa una utópica república dirigida por filósofos. Crea la Academia de Atenas que no era solo una institución filosófica, sino centro de formación política para jóvenesaristócratas. Según algunos especialistas, Platón edifica su teoría del conocimiento con el fin de justificar el poder emergente de la figura del filósofo. Sostiene la existencia de dos mundos -el mundo de las ideas y el de mundo físico de los objetos. Según Platón, lo concreto se percibe en función de lo abstracto y por tanto el mundo sensible existe gracias al mundo de las ideas. Platón escoge elformato diálogo como forma de transmisión del pensamiento.
Aristóteles
Los tratados de lógica de Aristóteles, 384aC - 332 aC, conocidos como Organón, contienen el primer tratado sistemático de las leyes de pensamiento para la adquisición de conocimiento. 



PROPOSICIONES DE LA LÓGICA MATEMÁTICA
Proposiciones abiertas
Existen algunas afirmaciones de las cuales no podemos decir inicialmente si sonfalsas o verdaderas por intervenir en ellas una variable; se les llaman proposiciones abiertas, son expresiones que contienen una variable y que al ser sustituidas dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición.
Dominio de la variable
El conjunto que consiste de los elementos que pueden reemplazar a la variable de una proposición abierta, lollamaremos el Dominio de la variable. El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x). ==

Proposición conjuntiva
A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo conjunción (), la llamaremos proposición conjuntiva; p  q, teniendo unvalor de verdad verdadero, sólo cuando ambas componentes sean verdaderas, es decir, si al menos una de las componentes es falsa, entonces la proposición p  q es falsa.

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definiremos el conjunto A intersección B, que anotaremos por A ∩ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al B, o sea, los elementos que tienen encomún:
A ∩ B = { x / x ∈ A  x ∈ B }
Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x),
Entonces el conjunto solución de p(x) () q(x) es P ∩ Q.
El conjunto vacío que anotaremos Ø es el conjunto que no tiene elementos.
Pudiéndose anotar: Ø = { x / x ∈ A  x ∉ A }
Proposición disjuntiva
Para indicar que dos proposiciones están conectadas con la letra "o" se utiliza elsímbolo  , llamado conectivo disyuntivo. A la proposición que resulta de unir dos proposiciones por medio del conectivo disyunción (), la llamaremos proposición disyuntiva p  q. p  q tendrá un valor de verdad falso sólo cuando ambas componentes sean falsas, es decir, si al menos una de las componentes es verdadera, entonces p  q es verdadera.
Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el...