Logica Matematica

.GU´ DE HABILIDADES
IA

LOGICO MATEMATICAS
Hebeth Cueva Valladolid
Abril del 2012

Docente : Hebeth Cueva Valladolid

1

.

L´gica
o
Proposici´n
o
Valor de verdad
Operadores L´gicos
o
Tablas de verdad
Profesor : Hebeth Cueva Valladolid
El objetivo es que al t´rmino del mismo usted maneje las definiciones de
e
la l´gica matem´tica y los aplique en la resoluci´n de problemaspropuestos
o
a
o
.
DEFINICION 0.1 (Enunciado). .Es toda oraci´n o frase que exprese
o
alguna idea , atrav´s de afirmaciones,negaciones ,preguntas ,´rdenes ,saludos
e
o
,emociones,etc.
DEFINICION 0.2 (Enunciado Abierto). Es aquel enunciado que contiene variables o letras ,pero no tiene la propiedad de ser verdadero o falso
DEFINICION 0.3 (Proposci´n L´gica). Una proposici´n es unenuncio
o
o
ado cuya propiedad fundamental es la de ser verdadera (V) o falsa (F),pero
no ambas a la vez.
Ejercicios : De las siguientes expresiones,indicar cu´les son proposia
ciones l´gicas,justificar
o
1. 4+9=20
√
2. x2 = x
3. x2 + 1 ≥ 4

∀x R

4. x es el presidente del Per´.
u

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5. 23 es un n´mero primo.
u
6. Todo n´mero entero espositivo.
u
7. ¿Qu´ edad tienes?
e
8. 123636369 es un n´mero divisible por 3.
u
9. !Cierra la puerta!
10. 3x + 5 = 9
DEFINICION 0.4 (Valor de verdad). Si p es una proposici´n , su valor
o
de verdad se denota por V (p) y escribimos :
V (p) = V si el valor de p es verdadero y
V (p) = F si el valor de p es falso.
DEFINICION 0.5 (Proposici´n simple). Es aqulella proposici´n l´gica
o
oo
queconsta de un solo sujeto y un predicado.Se llaman variables proposicionales
DEFINICION 0.6 (Proposici´n compuesta). Es aquella proposici´n
o
o
l´gica compuesta de dos o m´s proposiciones simples.
o
a
DEFINICION 0.7 (Operadores L´gicos). Son signos que representan
o
palabras y que son usados para relacionar proposiciones.Tenemos :
1. Conjunci´n ∧
o
2. Disyunci´n d´bil o inclusiva ∨
oe
3.Disyunci´n fuerte o exclusiva
o
4. Condicional −→
5. Bicondicional ←→
6. Negaci´n ∼
o

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3

Tablas de verdad

p
V
V
F
F

q p∧q
VV
FF
VF
FF

p
V
V
F
F

q p∨q
VV
FV
VV
FF

p
V
V
F
F

qp
q
VF
FV
VV
FF

p
V
V
F
F

q p −→ q
V
V
F
F
V
V
F
V

p
V
V
F
F

q p ←→ q
V
V
F
F
V
F
F
V

P ∼P
VFFV

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DEFINICION 0.8 (Signos de agrupaci´n). Los signos de agrupaci´n
o
o
(), [], {} se usan en l´gica cuando se trata de obtener esquemas l´gicos m´s
o
o
a
complejos.Otra finalidad de estos signos es darle mayor o menor jerarqu´ a
ıa
los operadores
Ejercicios : Determinar el valor de verdad de las siguientes
proposiciones :
1.

√
3
[(2 + 3= 5) ∧ ( 8 = 2)] −→ (23 = 32 )

2.

√
13
1
[( + = ) ∨ (
81 = −3)]
25
10

[(−32 ) ≤ 32 ]

3.
(53 > 35 ) ←→ [(5 − 9 = −4) −→ (−22 = (−2)2 )]
4. El d´a tiene 24 horas y una hora 3600 segundos
ı
5. 10 es m´ltiplo de 3 y 30 es divisor de 600
u
6.
[ 0,25 = 0,5 ∧
7.

√

13
5
[( + = )
22
6

8.

√

5<

√

−9 = −3] −→ (22 + 32 = 52 )

1
(23 > )] ←→ [(−3)2 = −32 ]8

√
√
7 −→ [( 52 − 3 = 72 − 2)

(

1
= 0,4)]
25

9.
(52 + 1 = 62 ) ←→ (00 = 1)
10.

√

4+9=

√

4+

√

9 −→ 26 = 43

11. Si p(x) : x2 − 16 = 0, q (x) : x − 12 = 0, r(x) : x2 > 9.Hallar los valores
de verdad de :
a)
[p(2)∧ ∼ q (2)] ←→ r(4)
b)
[∼ p(4) −→ r(5)]∨ ∼ q (4)
c)
[p(1) ∧ p(3)] ←→ [r(2) ∨ p(5)]

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DEFINICION 0.9(F´rmula L´gica). es una combinaci´n de variables
o
o
o
proposicionales y operadores l´gicos.Se eval´a mediante tablas de verdad.
o
u
Las f´rmulas l´gicas o esquemas moleculares ,se eval´an mediante tablas de
o
o
u
valores de verdad,el n´mero de valores de verdad queda determinado por 2n
u
,donde n es el n´mero de proposiciones.
u
Si al evaluar una f´rmula l´gica resulta que todos...