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La Función Lineal

El gran matemático suizo Leonhard Euler vivió en el siglo XVII, y su obra es la más voluminosa que haya sido escrita hasta ahora por matemático alguno. Aparte de haber escrito sobre muchas áreas de la Matemática conocidas en su época, como la Geometría, la Aritmética, el Álgebra y el Cálculo, creólos fundamentos de nuevas ramas del conocimiento matemático como lo son la Teoría de Grafos y la Topología Combinatoria. Además abordó problemas de Mecánica, Óptica, Electricidad y Acústica con las poderosas herramientas matemáticas que poseía, explicando así fenómenos naturales como el movimiento de la Luna, el flujo del calor y la estructura matemática subyacente a la Música.


LeonhardEuler

Un ejemplo entre los muchos que ilustran la genialidad de Euler es el siguiente: Fermat había hecho la conjetura, 100 años antes, de que todos los números de la forma eran primos, lo cual es cierto para , , y . Euler encontró, sin usar calculadora, que

Es decir, no es primo, y por lo tanto la conjetura de Fermat es falsa.

El concepto de función fue creado por Euler y ha sidoutilizado desde entonces en prácticamente todas las ramas de la Matemática.

El concepto matemático de función permite, entre otras cosas, organizar información que se obtiene a través de datos numéricos tomados de algún fenómeno, y estudiar la manera en que esos datos se relacionan entre ellos. Por ejemplo, se tienen los siguientes datos acerca de los kilómetros recorridos por un ciclista enentrenamiento, en intervalos de tiempo de 15 minutos:

0
minutos

0 Kms
15
minutos

6 Kms
30
minutos

12 Kms
45
minutos

18 Kms
1
hora

24 Kms


Un observador cuidadoso notará que, en cada intervalo de 15 minutos, el número de kilómetros avanzados es siempre el mismo: 6 Kms. Si se representan estos datos en el plano cartesiano, ubicando el tiempo en horas en el eje de las abscisasy la distancia recorrida en el eje de las ordenadas, se obtiene algo así:



Tomando en cuenta que 15 minutos = de hora, 30 minutos = hora, etc, los puntos representados son: P: (1/4,6), Q: (1/2,12), R: (3/4,18), S: (1,24)
Estos datos permiten concluir que el ciclista va a una velocidad constante, y que una línea recta representa su recorrido en kilómetros a través del tiempo:
TiempoDistancia
0
0
1/4
6
1/2
12

etc.


Si se sabe que el ciclista mantiene su velocidad constante por un lapso de 2 horas, se puede determinar el número de kilómetros recorridos al cabo de las 2 horas.
Para reflexionar:
¿Puedes decir cuál es ese número? ¿Qué operación has realizado para determinarlo, y por qué?


Este ejemplo muestra un caso típico en el que se puede utilizar elconcepto de función: hay una serie de datos (los kilómetros recorridos) que vienen asociados a otra serie de datos numéricos (el tiempo transcurrido). se pueden representar los datos en una tabla como la que se muestra a la izquierda.
Si se determina que la velocidad del ciclista es de 24 Kms por hora, entonces es fácil deducir que, al cabo de 2 horas, habrá recorrido 48 Kms, sencillamente porque .Así, la tabla "Tiempo-Distancia" se puede escribir así:

Tiempo
Distancia
0

1/4

1/2

3/4

1



es decir, la distancia recorrida en un tiempo (dado en horas) es igual a . Por ejemplo, en 2 horas y media, la distancia en kilómetros será

El tiempo y la distancia se denominan variables. El tiempo es, en este caso la variable independiente y la distancia recorrida es la variabledependiente, porque depende del tiempo: para cada instante dado, hay una distancia recorrida.
Una función es una manera de asociar cada elemento de un conjunto de variables con un elemento de otro conjunto de variables (como en este caso) y se escribe para representar el número que se le asocia a la variable independiente .
por ejemplo, en el caso anterior, se tiene:

Y en general,
Se...