logica matematica

NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA´
MATEMATICA´
Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos permitira introducirnos a la Matematica: la Logica Matematica, que estudia las leyes que regulan el razonamiento.
Por fines didacticos la dividimos en
a) logica proposicional,
b) logica funcional.
1.1. LOGICA´ PROPOSICIONAL
En la logica proposicional consideraremos doselementos b´asicos: Proposiciones, Conectivos.
1.1.1. Proposiciones
Son “frases” sobre las cuales podemos decidir, un´ıvocamente, sobre la verdad (V ) o falsedad (F) de ellas.
As´ı entonces, una proposici´on es una frase que es V o F, no existiendo la posibilidad de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido).
Las proposiciones las denotamos por letras minu´sculasp, q, r, etc., que resumir´an, en si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situaci´on concreta.
Ejemplo 1.1.1.
1. “p” resumira, al interior de ´este ejemplo, a la proposicion: “Hoy es Martes 10 de Mayo“, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”.
2. Las siguientes “frases” son proposiciones:
q: x + 4 = 9 y x = 5(es V) r: Si x es un número real, entonces su cuadradoes no negativo (es V ).
Observacion 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos.
1
1.1.2. Conectivos
Sımbolos que, junto con las proposiciones basicas, nos permiten crear nuevas proposiciones, son:
∼: se lee “no”,
∧: se lee “y”,
∨: se lee “ y/o”,
⇒: se lee “... implica ...” ´o “si, ... entonces, ...”,
⇔: se lee “... equivalente con ...”.
Observacion 1.1.2. Elconectivo “∼” se usa antes de una proposicion, y los restantes conectivos se usan entre dos proposiciones.
Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces tambi´en son proposiciones:
1. ∼ p
2. p ∧ q
3. p ∨ q
4. p ⇒ q
5. p ⇔ q
6. p ∧ (q ∨ r)
7. [(∼ p) ∧ (q ∨ r)] ⇒ q
1.1.3. Tablas de Verdad
Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo, tienen,naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas b´asicas ese valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”.
Tabla de Verdad de la Negaci´on (∼)
Dada la proposici´on b´asica “p” , existe la negaci´on de ella, denotada ∼ p, que se lee “no p”, proposici´on que tiene la siguiente tabla de verdad.
p
∼ p
V
F
F
V
Observaci´on 1.1.3. Es claro que el valorveritativo de ∼ p es el contrario de p. Por ejemplo, si “p” es
p: “Hoy llueve”
es verdadero entonces ∼ p es
∼ p: “Hoy no llueve”
es falso.
Tabla de Verdad de la Conjunci´on (∧)
Dadas las proposiciones “p”, “q”, existe la conjunci´on de ellas, denotada p ∧ q, que se lee “p y q”, proposici´on tal que su tabla de verdad es
P
q
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Observaci´on 1.1.4. Laconjunci´on es verdadera s´olo si las proposiciones que la componen lo son.
Tabla de Verdad de la Disyunci´on (∨)
Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la disyunci´on de ellas, denotada p ∨ q que se lee “p o q”, proposici´on tal que su tabla de verdad es
p
q
p ∨ q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Observaci´on 1.1.5.
1. La disyunci´on es verdadera siempre, menos cuando las proposiciones quela componen son ambas falsas.
2. La disyunci´on presentada es incluyente, es decir, admite como verdadera a la proposici´on p ∨ q cuando ambas proposiciones que la componen lo son, sin embargo, si deseamos la disyunci´on excluyente, la denotamos p Y q, en este caso, si las proposiciones p, q son ambas verdaderas entonces p Y q es falsa.
Tabla de Verdad de la Implicaci´on (⇒)
Dadas lasproposiciones “p”, “q” existe la implicaci´on de p con q, denotada p ⇒ q, que se lee “p implica q” o “si ocurre p, entonces ocurre q”, proposici´on tal que su tabla de verdad es
p
q
p ⇒ q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Observaci´on 1.1.6. La implicaci´on es verdadera siempre, menos cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso.
Tabla de Verdad de la Equivalencia (⇔)
Dadas...