Logica Matematica

LÓGICA MATEMÁTICA.
Dado que el Lenguaje Natural, aunque es potente, resulta muy ambiguo, nos interesa encontrar un lenguaje más sencillo, sin ambigüedades que nos permita realizar razonamientos y generalizaciones. Por ello, es necesario introducirnos en la formalización del Cálculo Proposicional, que, aunque no cuenta con toda la potencia necesaria para describir el mundo, es válido como primeraaproximación. También veremos algunos conceptos delCálculo de Predicados y, por supuesto, nos centraremos en definir y ver cómo funciona el Método de Resolución.
Conceptos básicos.
Para comprender los principios de la lógica matemática en el campo del Cálculo Proposicional, necesitamos conocer una serie de conceptos básicos que se describen a continuación:
* Átomo: También llamado FórmulaAtómica o Enunciado Simple. Permite la formalización de una frase declarativa que no se puede descomponer en frases más simples. Para denotar átomos se utilizan las letras p,q, r, etc.
* Conectiva: Operador que permite construir sentencias compuestas a partir de átomos. Las principales conectivas lógicas son: Ø , Ù , Ú , ® .
* Enunciado: También llamado Fórmula. Es una expresión realizadacon átomos y conectivas lógicas, siguiendo unas determinadas normas. Para denotar enunciados se utilizan las letras A, B, C, etc.
* Deducción: Consiste en una lista de enunciados que, o bien son dados previamente, en este caso se llaman Premisas, o bien se han obtenido de enunciados anteriores mediante la utilización de un conjunto finito de reglas denominadas Reglas de Inferencia.
Dada unaserie de premisas, a través de las reglas de inferencia, podemos llegar a un enunciado que podemos denominar enunciado Conclusión. El conjunto de pasos para llegar a este enunciado a partir de las premisas usando dichas reglas de inferencia, compone un algoritmo general que permite automatizar el proceso de demostración. De esta forma, obtenemos un demostrador automático de teoremas que es,justamente, en lo que consiste la máquina PROLOG.
Aunque mediante la Lógica Proposicional podemos describir muchas situaciones, existen otras imposibles de representar. Necesitamos introducirnos, además, en la Lógica de Predicados. Podemos considerar la Lógica Proposicional como un subconjunto de la Lógica de Predicados o de Primer Orden. Por tanto, a las definiciones anteriores, hemos de añadir otrasnuevas que nos permitan comprender los métodos que se explicarán en apartados posteriores.
* Símbolos: Existen varios tipos:
* Individuales o Constantes: Representan valores concretos. C={a, b, c, d, e}.
* Variables: Se pueden sustituir por constantes. V={x, y, z, v, w}.
* Funciones: Aplicación que asocia una serie de constantes con otra constante. F={f, g, h}.
* Predicados:Función de resultado Verdadero o Falso. Pred={P, Q, R}.
* Relaciones: Representan relaciones o cuantificaciones. Rel={Ù , Ú , ® , « , Ø , " , $ }
* Signos de puntuación: Permiten agrupar o separar otros símbolos. Pun={(, ), ,, [, ]}
* Términos: Se pueden definir de varias maneras. A continuación se exponen las distintas formas de definición de términos:
* Una constante: a, c.
*Una variable: x, z.
* Si f es un símbolo de función y t1, t2,..., tn son términos, entonces f (t1, t2,,..., tn) es un término, por ejemplo g(a, f(x)).
* Fórmulas: Se definen como:
* Si R es un símbolo de relación y t1, t2,..., tn son términos, entonces R (t1, t2,,..., tn) es una fórmula.
Ejemplo: |
f(a, x) Ù Ø g(x), " x (g(x) Ú a) ® [f(a, v) ÙP(b Ú c)] |
 Si A y B son dos fórmulasy R es un símbolo de relación, entonces R(A, B) también es una fórmula.
Ejemplo: |
[" x (g(x) Ú a) ® (f(a, v) Ù P(b Ú c))] Ú Ø (f(a, x) Ù Øg(z)) |
Sentencias: Se definen como fórmulas en las que ninguna de las variables que la componen tiene una o más ocurrencias libres, o sea, todas las variables de la fórmula son ligadas. Es necesario que definamos, por tanto, lo que son variables libres y...