Logica matematica

Lógica Matemática

La lógica proposicional es una rama de la lógica clásica que estudia las proposiciones o sentencias lógicas, sus posibles evaluaciones de verdad y en el caso ideal, su nivel absoluto de verdad.

Conceptos básicos

Formalmente hablando, se define una proposición como un enunciado declarativo que puede ser verdadero o falso, pero no ambos a la vez. Las proposiciones serepresentan mediante variables proposicionales simbolizadas mediante letras. Con la combinación de variables proposicionales y conjunciones, definidas como functores o funciones de verdad, se obtienen fórmulas sentenciales o sentencias. Estas pueden ser, según su tabla de verdad:

* Tautología o validez: es una proposición que siempre es verdadera.
* Contradicción: es una proposición quesiempre es falsa.
* Contingencia: es una proposición que puede ser verdadera o falsa.

Sintaxis y notación

Sintaxis

El primer paso en el estudio de un lenguaje es definir los símbolos básicos que lo constituyen (alfabeto) y cómo se combinan para formar sentencias. Está constituido por:

* Símbolos de veracidad: para verdadero y para falso. Alternativamente se pueden usar V paraverdadero y F para falso.
* Símbolos de variables: p, q, ... , z
* Símbolos de conectivas
* Símbolos de puntuación: paréntesis (), corchetes [] y llaves {} para evitar ambigüedades.

Reglas de formación

Las clases de sentencias bien formadas se definen por reglas puramente sintácticas, llamadas reglas de formación, y que son:

* Una variable proposicional es una sentencia(también llamada fórmula) bien formada.
* Una sentencia bien formada precedida de la negación es una sentencia bien formada.
* Dos sentencias bien formadas unidas por una de las partículas conectivas binarias constituye una sentencia bien formada.
Se pueden omitir los paréntesis que encierran una sentencia completa.

El estilo tipográfico de los paréntesis se puede variar para hacerlos másevidentes usando corchetes y llaves.

A las conjunciones y disyunciones se les puede permitir tener más de dos argumentos.

Conectivas

Las conectivas se dividen por su aplicación en:

* Singulares: se aplican a una única sentencia.
* Binarias: se aplican a dos sentencias.

Tablas de verdad

La tabla de verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posiblesinterpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.

Semántica

Negación ( No, )

Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

p | |
V | F |
F | V |

Disyunción ( o, )

La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales seanverdaderas.

p | q | |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |

Conjunción ( y, )

La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p | q | |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |

Condicional ( Si, entonces, )

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p | q | |V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |

Bicondicional ( Si y solo si, )

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p | q | |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |

Disyunción exclusiva ( o, )

La sentencia será verdadera sólo cuando sólo una de las dos variables proposicionales sea verdadera.

p |q | |
V | V | F |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |

Axiomas y reglas

Los axiomas para el cálculo proposicional son:

1. (p v p) → p
2. q → (p v q)
3. (p v q) → (q v p)
4. (p → q) → [ (r v p) → (r v q) ]

A partir de estos axiomas y aplicando las dos reglas de transformación siguientes se puede demostrar cualquier teorema:

* Regla de sustitución: el...