logica matematica
Páginas: 8 (1999 palabras)
Publicado: 24 de septiembre de 2015
UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA
1.1. Introducción
La Lógica Matemática es la rama de las Matemáticas que nos permite comprender sobre la
validez o no de razonamientos y demostraciones que se realizan.
La lógica estudia la forma del razonamiento, y es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación y física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, yaque una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas.
En esta unidad en primer lugar revisamos el concepto de proposición, estableciendo el significado y utilidad de losconectivos o conectores lógicos, los cuáles de utilizan para formar proposiciones compuestas. También definimos los conceptos de tautología y contradicción, así como explicaremos las proposiciones lógicamente equivalente por medio de tablas de verdad. Luego daremos a conocer las aplicaciones del cálculo proposicional en la teoría de los circuitos. Finalmente; abordamos el estudio de loscuantificadores.
1.2. Proposiciones
Diremos que una proposición es un enunciado (o frase) en el cual podemos asignar un valor de verdad o falsedad; pero no ambos al mismo tiempo. Por ejemplo:
Son proposiciones:
Albert Einstein descubrió América.
56 − 20 + 4 = 40
La luna es un satélite natural de la tierra.
El dos es un número primo.
4+3 = 7
32 + 42 = 52
Existen enunciados que no sonproposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad por ejemplo:
¡Adiós!
¿Qué hora es?
Mañana lloverá
5 − 4x = 1 No es una proposición. Pero, si sustituimos x por cualquier número, ella se convierte en proposición. A este tipo de frases se les llama funciones proposicionales.
NOTAS:
1. Las proposiciones las notaremos con las letras g, q, r etc.
2. Aquellas proposiciones que no se puedendescomponer en dos o más
proposiciones; se llaman proposiciones simples.
3. Las proposiciones que están formadas por dos o más proposiciones simples por medio de conectores llamados lógicos se llaman proposiciones compuestas.
4. Si una proposición es verdadera se denotará por la letra “V” o el “1” y si es falsa se denotará por “F” o por el “0”.
1.3. Conectores Lógicos
1. Negación
Dada unaproposición g, se puede obtener otra proposición anteponiendo la palabra "no" o "no es cierto que". El símbolo utilizado es ~ que significa "no". Por ejemplo: Sea la proposición g ≡ ”Estoy estudiando"; La negación de esta proposición simple será ~g ≡ "No estoy estudiando" o también "No es cierto que
estoy estudiando".
La negación aplicada a una proposición simple nos da una nuevaproposición
simple. Se observa que: Si g es V, la negación ~g es F; mientras que, si g es F; la negación ~g es V. Por medio de esta regla podemos construir la tabla de
verdad de la negación; esto es:
p
~p
V
F
F
V
2. Conjunción
La conjunción es el conector que relaciona dos proposiciones simples para formar
una compuesta, con la letra "y" cuyo símbolo es ∧. Por tanto g ∧ q se lee "g y q". Porejemplo: Sean las proposiciones simples g ≡ "Juan es bueno" y q ≡ "María es feliz", la conjunción de g y q será g ∧ q ≡ "Juan es bueno y María es feliz”
Por la naturaleza del nexo "y" para que una proposición compuesta sea verdadera, necesariamente las dos proposiciones simples deben serlo. Para los demás casos será falsa. Por tanto la tabla de verdad en este caso es:
p
q
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
FV
F
F
F
F
3. Conjunción negativa
La conjunción negativa “ni… y ni…” asociada a las proposiciones g y q da como resultado una nueva proposición compuesta g ↓ q que se lee: “ni g y ni q”, la cual es verdadera cuando g y q es falsa, en los casos restantes es falsa. Su tabla de
verdad es:
p
q
p ↓ q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
4. Disyunción
La disyunción es un conector lógico que relaciona dos...
UNIDAD I: LÓGICA MATEMÁTICA
1.1. Introducción
La Lógica Matemática es la rama de las Matemáticas que nos permite comprender sobre la
validez o no de razonamientos y demostraciones que se realizan.
La lógica estudia la forma del razonamiento, y es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación y física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, yaque una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas.
En esta unidad en primer lugar revisamos el concepto de proposición, estableciendo el significado y utilidad de losconectivos o conectores lógicos, los cuáles de utilizan para formar proposiciones compuestas. También definimos los conceptos de tautología y contradicción, así como explicaremos las proposiciones lógicamente equivalente por medio de tablas de verdad. Luego daremos a conocer las aplicaciones del cálculo proposicional en la teoría de los circuitos. Finalmente; abordamos el estudio de loscuantificadores.
1.2. Proposiciones
Diremos que una proposición es un enunciado (o frase) en el cual podemos asignar un valor de verdad o falsedad; pero no ambos al mismo tiempo. Por ejemplo:
Son proposiciones:
Albert Einstein descubrió América.
56 − 20 + 4 = 40
La luna es un satélite natural de la tierra.
El dos es un número primo.
4+3 = 7
32 + 42 = 52
Existen enunciados que no sonproposiciones, porque no es posible establecer su valor de verdad por ejemplo:
¡Adiós!
¿Qué hora es?
Mañana lloverá
5 − 4x = 1 No es una proposición. Pero, si sustituimos x por cualquier número, ella se convierte en proposición. A este tipo de frases se les llama funciones proposicionales.
NOTAS:
1. Las proposiciones las notaremos con las letras g, q, r etc.
2. Aquellas proposiciones que no se puedendescomponer en dos o más
proposiciones; se llaman proposiciones simples.
3. Las proposiciones que están formadas por dos o más proposiciones simples por medio de conectores llamados lógicos se llaman proposiciones compuestas.
4. Si una proposición es verdadera se denotará por la letra “V” o el “1” y si es falsa se denotará por “F” o por el “0”.
1.3. Conectores Lógicos
1. Negación
Dada unaproposición g, se puede obtener otra proposición anteponiendo la palabra "no" o "no es cierto que". El símbolo utilizado es ~ que significa "no". Por ejemplo: Sea la proposición g ≡ ”Estoy estudiando"; La negación de esta proposición simple será ~g ≡ "No estoy estudiando" o también "No es cierto que
estoy estudiando".
La negación aplicada a una proposición simple nos da una nuevaproposición
simple. Se observa que: Si g es V, la negación ~g es F; mientras que, si g es F; la negación ~g es V. Por medio de esta regla podemos construir la tabla de
verdad de la negación; esto es:
p
~p
V
F
F
V
2. Conjunción
La conjunción es el conector que relaciona dos proposiciones simples para formar
una compuesta, con la letra "y" cuyo símbolo es ∧. Por tanto g ∧ q se lee "g y q". Porejemplo: Sean las proposiciones simples g ≡ "Juan es bueno" y q ≡ "María es feliz", la conjunción de g y q será g ∧ q ≡ "Juan es bueno y María es feliz”
Por la naturaleza del nexo "y" para que una proposición compuesta sea verdadera, necesariamente las dos proposiciones simples deben serlo. Para los demás casos será falsa. Por tanto la tabla de verdad en este caso es:
p
q
p ∧ q
V
V
V
V
F
F
FV
F
F
F
F
3. Conjunción negativa
La conjunción negativa “ni… y ni…” asociada a las proposiciones g y q da como resultado una nueva proposición compuesta g ↓ q que se lee: “ni g y ni q”, la cual es verdadera cuando g y q es falsa, en los casos restantes es falsa. Su tabla de
verdad es:
p
q
p ↓ q
V
V
F
V
F
F
F
V
F
F
F
V
4. Disyunción
La disyunción es un conector lógico que relaciona dos...
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