Logica matematica

Capítulo I: LÓGICA Teoría de Lógica Proposicional
La Lógica Matemática surge como una necesidad de expresar las frases del lenguaje común en términos o ecuaciones matemáticas, de modo que pudiera evitarse la ambigüedad del lenguaje natural y transformar el pensamiento en cálculo. Este lenguaje en fórmulas es lo que se conoce como Lenguaje Formal, el cual consiste en abreviar o simbolizar lasoraciones o juicios, que en la lógica matemática se llaman proposiciones. Las proposiciones son expresiones del lenguaje natural, y se diferencian del resto de las expresiones en que su planteamiento conlleva a un análisis de la misma, para determinar si es cierto o no el juicio emitido. Más claramente, una proposición es un enunciado a través del cual se emite un juicio o condición, el cual puedeser verdadero o falso; mientras ninguna expresión interrogativa, exclamativa, o imperativa de nuestro lenguaje cotidiano puede considerarse una proposición, pues las mismas no pretenden esclarecer la veracidad o falsedad de un supuesto, sino obtener una respuesta, afirmar u ordenar respectivamente. Ejemplo: Diga cuáles de las siguientes frases son proposiciones. p: Tú eres menor que yo. q: Laspirámides egipcias están en la ciudad de El Cairo. r: ¿Vamos a cenar juntos? s: Tómate todo el jugo. t: ¡Qué gusto verte! Solución: Son proposiciones las frases p y q, pues las mismas enuncian una idea, la cual puede ser verdadera o falsa. En el caso de los incisos r, s, y t no se pretende demostrar si las frases son verdaderas o falsas, sino obtener una respuesta (sí o no), dar una orden y expresar unestado de ánimo, respectivamente. Las proposiciones se reducen en el lenguaje formal a una sola letra, la cual llamamos variable, y la simbolizamos con las letras minúsculas del alfabeto que van de la p hasta el final del abecedario. En el ejemplo podemos ver que cada inciso del mismo fue identificado con una letra minúscula, y teniendo en cuenta la respuesta del mismo podemos decir que lasproposiciones presentes en el ejercicio son p y q, las cuales pueden plantearse como: p: Tú eres menor que yo q: Las pirámides egipcias están en la Ciudad de El Cairo
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Capítulo I: LÓGICA
Proposición simple y proposición compuesta Una proposición simple es aquella que no contiene elementos de enlace, es decir que solamente se enuncia un juicio independiente. Digamos por ejemplo que: “Tú eres menorque yo” es una proposición simple, mientras que “En invierno hace frío y llueve” es una proposición compuesta, pues está compuesta por 2 proposiciones simples (En invierno hace frío y En invierno llueve) conectadas a través de un elemento de enlace (y) que reduce los componentes de la frase final al no tener que repetir la frase “En invierno” 2 veces. Dicho conector en términos matemáticos es unconectivo lógico, que es representado por un símbolo y su significado siempre es el mismo, por lo que también se le conoce como constante. La siguiente tabla muestra los conectivos lógicos más usados y su simbología para su utilización matemática.
Conectivo Lógico Símbolo

Y O si…, entonces, … …sí y solo si… No ”o“ ” Veamos algunos ejemplos de proposiciones compuestas, donde hemos resaltadocada uno de los conectores lógicos utilizados. a. Tienes frío o miedo. b. Si sigo este camino, entonces, llegaré al cine. c. Ese dulce no es para ti. d. El 5 es un número natural y primo. e. Tendrás ese libro, sí y solo si me dejas regalártelo. f. Ni tengo fiebre, ni estoy enfermo. g. Ese vestido o bien está mojado, o bien está seco.

A mediados del siglo XIX, George Boole (1815-1864), en suslibros: "The Mathematical Analysis of Logic" (1847) y "An Investigation of te Laws of Thought" (1854), desarrolló la idea de que las proposiciones lógicas podían ser tratadas mediante herramientas matemáticas. Las proposiciones lógicas (asertos, frases o predicados de la lógica clásica) son aquellas que únicamente pueden tomar valores Verdadero/Falso, o preguntas cuyas únicas respuestas posibles...