Logica Proposicional En Revision 2011 Version 2

Lógica Proposicional

Proposición
Una proposición es todo enunciado al que se le puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que son:

VERDADERO (V) o FALSO (F)

Por lo general, las proposiciones se representan con las letras minúsculas del alfabeto, desde la letra p en adelante, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.

Ejemplo
a) La expresión 15 + 5 = 21 esuna proposición que se puede indicar brevemente de la forma
p: 15 + 5 = 21
cuyo valor de verdad es falso, lo que se indica mediante
V(p) = F

b) Sea la proposición
q: Santa Fe es una provincia argentina V(q) = V

c) Sea la proposición
r: el número 15 es divisible por 3 V(r) = V


Funciones Proposiciones

Si en la proposición "cinco es mayor que tres" (en símbolos es 5 > 3)reemplazamos al número 5 por la letra x, se obtiene la expresión "x es mayor que tres" (x > 3), y si convenimos que x no represente necesariamente al número 5, sino a un número real cualquiera, entonces el enunciado x > 3 se denomina función proposicional y se anota p(x) o p(x).
Una función proposicional en una variable o indeterminada x es un enunciado en el que aparece x como sujeto y que seconvierte en una proposición cuando se le asigna un valor específico a la variable.

Ejemplo
Sea la función proposicional p(x): 2x-5 = 3. Si se remplaza x por 4 y x por 2, se obtienen, respectivamente, los siguientes valores de verdad: p(4) = V y p(2) = F

Ejemplos
p(x): 2x + 5 > 11. Si x = 4, p(4) = 13  13 > 11 (Verdadero)
q(y): 3y + 7 = 11. Si y = 5, q(5) = 22  22 = 16 (Falso)
r(x):2x + 1 = 5. Si x = 2, r(2) = 5  5 = 5 (Verdadero)

Observación
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas, estas últimas constan de dos o más enunciados simples.

Ejemplo
Sea la siguiente proposición r
r: Pitágoras era griego y era geómetra.

p y q

Se observan dos proposiciones simples. La primera, p, nos afirma que Pitágoras era griego y la segunda,q, que Pitágoras era geómetra.

Operaciones Lógicas

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, las compuestas. Es decir, se puede operar con proposiciones utilizando para ello ciertos símbolos llamados conectivos lógicos.

Operación
Símbolo
Significado

Negación
Conjunción o producto lógico
Disyunción o suma lógica
Implicación
Doble implicación
Diferencia simétrica o Disyunciónexcluyente
~





“no …..” o “no es cierto que …
“…. y ….”
“… o …” (en sentido incluyente)
“… implica …”, o “si… entonces …”
“… si y sólo si …”
“ … o …” (en sentido excluyente)

Negación
Dada una proposición p, se denomina negación de p a otra proposición denotada por ~p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Esta ley que define a la negación lógica osimplemente negación, se presenta generalmente, en forma resumida utilizando una tabla de doble entrada denominada tabla de verdad.
La tabla de verdad de la negación es:

p
~p
V
F
F
V

Ejemplo
Sea la proposición p: 3 > 1, su negación es ~ p: 3 ≤ 1.
Se observa que V(p) = V y V(~ p) = F

NOTA: se trata de una operación unitaria, pues se define para una proposición.

Conjunción o Producto Lógico
Dadas dosproposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición compuesta p  q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p
q
p  q
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes (en todo otro caso, es falsa). Es una operación binaria.

Ejemplos
a) Sean lasproposiciones
p: 5 es un número impar
q: 6 es un número par
Entonces la conjunción entre p y q es
p  q: 5 es un número impar y 6 es un número par
Se obtienen los siguientes valores de verdad:
V(p  q) = V
V(~p  q) = F

b) Sean las proposiciones
r: todos los número pares son divisibles por 2
~ r: existe un número par que no es divisible por 2
¿Qué valor de verdad tiene la proposición compuesta r ~ r?...