Logica y conjuntos

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Demostración matemática.

Una demostración matemática consiste en que a partir de una proposición verdadera R y empleando las tautologías anteriores, se demuestra que una proposición S es verdadera.

La demostración de un teorema consiste en mostrar una argumentación convincente de que el teorema en consecuencialógica de la hipótesis y teoremas ya demostrados.

Pero, ¿ qué significa que un teorema es consecuencia lógica de las hipótesis y teoremas ya demostrados?. Como veremos a continuación, son precisamente las tautologías las que determinan esto; es decir, las tautologías determinan las reglas de inferencia que se emplean para deducir un teorema a partir de proposiciones conocidas.

El proceso deinferir una proposición t de las proposiciones s1,s2,....,sn se llama razonamiento y la podemos representar de la siguiente manera:
s1
s2
s3
.
.
.
sn
____
t

Con esto se quiere decir que, como las proposiciones s1,s2,...,sn son verdaderas, por lo tanto, que lo representamos simbólicamente , t es verdadera. A las proposiciones s1,s2,...,sn se les llama premisas del razonamiento y tconclusión. Se dice que tal razonamiento es válido si, y solamente sí, la proposición (s1 ^ s2 ^ ... ^ sn) - - > t es una tautología.

Para ver claro esto, consideremos el siguiente razonamiento:

p: Luis se levanta a las siete.
p --> p1: Si Luis se levanta a las siete va a clase.
p1 --> q: Si Luis va a clase, entonces se graduará.
______________________________________________
q: Luis segraduará
La tabla de verdad de este razonamiento es la siguiente:

p | p1 | q | p --> p1 | p1 --> q | p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q) | p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q) --> q |
V | V | V | V | V | V | V |
V | V | F | V | F | F | V |
V | F | V | F | V | F | V |
V | F | F | F | V | F | V |
F | V | V | V | V | F | V |
F | V | F | V | F | F | V |
F | F | V | V | V | F| V |
F | F | F | V | V | F | V |
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De la tabla anterior nos indica que el razonamiento es válido porque la proposición formada por la conjunción de las premisas implica la conclusión, en otras palabras, la proposición [p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> q)] --> q es una tautología.

El razonamiento anterior lo podemos ver de una forma general, es decir:

p
  p --> p1
   p1 -->p2
   .
   .
   .
   pn --> q
      ________
  q

Al demostrar un teorema de la forma «si p entonces q» (p --> q), comúnmente se empieza suponiendo que p es dado; después se construye una cadena de proposiciones de la forma p --> p1, p1 --> p2,...,pn --> q, cada una de las cuales es una hipótesis dada de antemano o un teorema ya demostrado. Tan pronto se llega en estacadena a la proposición pn --> q, de ello se concluye q. Este razonamiento es válido, pero ¿ cómo se demuestra el teorema, es decir, como se establece la verdad de la implicación p --> q ?. Para ver esto recuerda que en la sección de condicional o implicación, vimos que precisamente que una implicación p --> q es falsa solamente cuando p es verdadera y q es falsa; entonces todo lo quenecesitamos para mostrar que p --> q es verdadera es el caso en que p sea verdadera, y q necesariamente deberá ser verdadera. Esto es precisamente lo que el razonamiento anterior determina, porque siendo un razonamiento válido la proposición formada por la conjunción de las premisas implica la conclusión.
[p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ...(pn --> q)] --> q
es una tautología. Y resultaque, como en la demostración de un teorema de la forma p --> q, cada una de las proposiciones p, p --> p1, p1 --> p2, ... , pn --> q es verdadera, puesto que es una hipótesis dada o un teorema demostrado. Así, si p es verdadera, p ^ (p --> p1) ^ (p1 --> p2) ^ ... ^ (pn --> q) es verdadera, porque es una conjunción de proposiciones verdaderas. Pero eso también quiere decir...