Logica Y Conjuntos

Lectura 1: Lógica y Conjuntos 1. Definición y notación de Conjuntos Un conjunto es una colección o agrupación de objetos o ideas que comparten alguna propiedad común que permite distinguirlas de otras. Por ejemplo, se pueden considerar como conjuntos: Los alumnos de este salón, los números pares, los maestros del Tecnológico de Monterrey, los colores primarios, etc. Los elementos de un conjuntoson los objetos o ideas que forman parte del conjunto. Notación de conjuntos. Notación, en matemáticas, se refiere a un sistema de signos convencionales que se adopta para expresar conceptos matemáticos. La notación utilizada en conjuntos es la siguiente: Letras mayúsculas. Se usan para denotar a los conjuntos, por ejemplo: A, B, C, etc. Letras minúsculas. Se usan para denotar elementos de unconjunto, por ejemplo: a, b, c, x, y, etc. Llaves { } se utilizan para contener los elementos que forman un conjunto, los cuales están separados por comas. Por ejemplo: {primavera, verano, otoño, invierno} El símbolo | se lee “tal que”. Se utiliza coma “,” para separar los elementos de un conjunto 1.1 Conjuntos por enumeración y por comprensión Existen dos formas para denotar un conjunto: porenumeración y por comprensión. Un conjunto por enumeración se presenta cuando se escriben todos los elementos que lo forman dentro de llaves y separados por comas, por ejemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {primavera, verano, otoño, invierno} Un conjunto por comprensión se presenta cuando dentro de las llaves aparece la descripción de los elementos que lo forman, por ejemplo: A = {dígitos primos} B = {estacionesdel año} Los conjuntos por comprensión se pueden expresar utilizando proposiciones. Una proposición es una oración que tiene un valor de verdad que es falso o verdadero, pero que no puede ser al mismo tiempo falso y verdadero. Existen proposiciones simples y proposiciones abiertas. Una proposición simple, es una oración con sujeto y predicado con un valor de verdad, es decir, que se puedecalificar como falsa o verdadera. Ejemplos de proposiciones: La tierra es un planeta Verdadera (V) Enero es un día de la semana Falsa (F) 4 es divisor de 16 Verdadera (V) Las siguientes no serían proposiciones, ya que no se pueden calificar como falsas o verdaderas, por lo que no tendrían un valor de verdad: Estudia

12 x = 6 El árbol grande ¿Dónde vives? Existen otras proposiciones que utilizanalguna variable y son llamadas Proposiciones abiertas, las cuales no se clasifican como falsas o verdaderas sino que tienen un conjunto de reemplazamiento. Estas proposiciones en lugar de un valor de verdad tienen un conjunto de verdad que es el conjunto de elementos que hacen a la proposición verdadera. Por ejemplo: p: x es una vocal; x pertenece al abecedario, es una proposición abierta en la cuallas vocales son el conjunto de reemplazamiento. El conjunto de verdad de esta proposición es: {a, e, i, o, u} Notación de Conjuntos por comprensión utilizando proposiciones abiertas. Al escribir un conjunto por comprensión se acostumbra utilizar proposiciones abiertas con una variable, por lo general x, que representa a cualquiera de los elementos que pertenecen al conjunto de reemplazamientodescrito. En esta notación se utiliza una línea vertical, el símbolo |, que se lee tal que. Por ejemplo: A = {x | x es un dígito par} A es el conjunto formado por los elementos x tal que x es un dígito par. La x puede ser cualquiera de los cinco dígitos pares A= {0, 2, 4, 6 u 8} 1.2 Cambio de la forma de escribir conjuntos por enumeración a la forma por comprensión y viceversa. a) Escribir conjuntos porenumeración, a partir de un conjunto expresado por comprensión Dados los siguientes conjuntos por comprensión, se pueden expresar pon enumeración. A= {x | x es un día de la semana} se expresa por enumeración: A= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} B= {x | x es una de las tres primeras letras del alfabeto} se expresa por enumeración: B= {a, b, c} b) Escribir conjuntos...