Logica y teoria de conjuntos

Logica Y Teoria De Conjuntos
1. LÓGICA MATEMÁTICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS. Llamamos conjunto a una colección de objetos (con determinadas características en común) y a los objetos que lo forman se les llama elementos del conjunto. Llamaremos universo (U) al conjunto que en un momento dado es usado como marco de referencia para formar conjuntos. Un conjunto queda determinado por una colecciónde atributos que los elementos del universo pueden o no poseer. Así, los elementos del universo que sí posean los atributos requeridos forman el conjunto. Observación: Conjunto y universo son términos no definidos.
2. Def.: Diremos que un conjunto está descrito por enumeración si se han dado explícitamente todos sus elementos y está descrito por comprensión si sus elementos están dados enforma implícita mediante una frase que los describa. Pertenencia / NO pertenencia: (x pertenece al conjunto A): indica que x tiene los atributos que determinan al conjunto A. (x NO pertenece al conjunto A).La lógica matemática es una variedad de la lógica filosófica. Los objetivos principales de la lógica son esencialmente: 1. Eliminar las ambigüedades propias del lenguaje ordinario. 2. Dar rigor aaquello que se está estudiando. En lógica existen dos procesos fundamentales: 1. Conceptualización: consiste en definir los objetos matemáticos que se van a definir. 2. Demostración: consiste en demostrar rigurosamente aquellas propiedades, proposiciones o teoremas que se estén estudiando. Def.: Se llama proposición a cualquier afirmación que es verdadera (V) o es falsa (F), pero no ambas cosas a lavez. Para nombrar a las proposiciones se suelen utilizar las letras p, q, r, s, ... Def.: Una proposición abierta (o función proposicional) es una expresión que contiene una variable y que al ser sustituida dicha variable por un valor determinado, hace que la expresión se convierta en una proposición. ((V) ó (F)). p(x); p(x,y,z, ..).Def.: El conjunto que consiste de los elementos que puedenreemplazar a la variable de una proposición abierta, lo llamaremos el Dominio de la variable.Def.: El conjunto formado por aquellos elementos del dominio de la variable que hacen verdadera la proposición abierta p(x), lo llamaremos el conjunto solución de la proposición abierta p(x).Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la propiedad abierta . Observación: Usando proposiciones abiertas podemosescribir un conjunto por comprensión: prop. Dominio Conjunto abierta p(x) variable p(x). solución p(x). Conectivos lógicos: Permiten relacionar proposiciones para formar nuevas proposiciones. Igualmente permiten definir “operaciones” en los conjuntos para obtener nuevos conjuntos.Tabla conectivos lógicos.Conjunción.“y”.Disyunción.“o”.Condicional.“si p entonces q”.Negación.“no”.Bicondicional.(ó dobleimplicación).“p si y sólo si q”.Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición conjuntiva de p y q, y se escribe , a la proposición que dice " p y q" . es verdadera cuando p y q son verdaderas simultáneamente. (Ver: “Tablas de Verdad”).Def.: Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, entonces definimos el conjunto A intersección B, que denotaremos por como sigue:Observación: Si P es elconjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x), entonces el conjunto solución de “p(x) q(x)” es .Def.: El conjunto vacío que denotaremos por es el conjunto que no tiene elementos. Podemos decir que:Def.: Dadas dos proposiciones p y q, se llama proposición disyuntiva de p y q, y se escribe , a la proposición que dice " p ó q" . es verdadera cuando al menos una de ellas lo es.(Ver: “Tablas de Verdad”).Observación: De la tabla de verdad de la disyunción (Ver: “Tablas de Verdad”) se deduce que en lógica, la disyunción significa y/o (NO exclusivo). Ver: " O Exclusivo" .Def.: Sean A y B dos conjuntos, entonces definimos el conjunto A unión B que denotaremos por como sigue:Observación: Si P es el conjunto solución de la proposición p(x) y Q el de la proposición q(x),...