Logica

CURSO

Curso Completo de Electrónica Digital

Departamento de Electronica y Comunicaciones Universidad Pontifica de Salamanca en Madrid Prof. Juan González Gómez

Capítulo 3

ALGEBRA DE BOOLE
3.1. Introducción
Cuando trabajamos en ingeniería, utilizamos ecuaciones y modelos matemáticos que describen lo que estamos diseñando o analizando. Así por ejemplo, la ecuación

nos indica cuáles la velocidad máxima de transmisión por un canal que tiene un ancho de banda W y por el que se permiten n estados posibles de la señal transmitida, y será usada por un Ingeniero de Telecomunicación para el diseño de canales o sistemas de comunicación. Esa ecuación describe una relación entre ciertas variables, que son objeto de estudio del Ingeniero.

A lo mejor no entendemos el significado deesta ecuación. No sabemos lo que significa ancho de banda o velocidad máxima de transmisión, pero sí entendemos las operaciones que hay en ella: hay productos y logaritmos. Sin saber nada, y partiendo de los datos iniciales: W = 2500, n = 4, seríamos capaces de calcular el valor de Vmax

Sólo hay que introducir los datos en una calculadora y ya está. De la misma manera, si un físico nos diceque la posición de cierta partícula viene determinada por la ecuación:

y nos da los siguientes datos: A=5, t=0 y

, sabemos calcular el valor de x, que será:

y por las propiedades de los Números Reales, que son los que estamos manejando, sabemos que “algo por cero es cero” y “algo más cero es algo”:

¿Y por qué hemos sabido hacer eso? Porque conocemos las operaciones que el físico hautilizado y además sabemos algunas propiedades de ellas. En estas dos ecuaciones de ejemplo, los números y las variables son Reales. El conjunto de los Números Reales lo conocemos muy bien, así como todas las operaciones definidas en él. Estamos acostumbrados a trabajar con ellos desde pequeños, por eso este tipo de ecuaciones nos parecen intuitivas y sencillas, aunque no comprendamos lo que significanlas variables usadas.

Hemos dicho que los circuitos digitales trabajan con números, y que estos números se expresan en binario. Veremos más adelante cómo con un conjunto de ecuaciones podemos describir lo que hace un circuito, que transforma los números de la entrada y los saca por la salida. Sin embargo, puesto que estos números vienen expresados en binario, las variables y númerosutilizados NO SON REALES. Para describir un circuito digital utilizaremos ecuaciones Para describir un circuito digital utilizaremos ecuaciones matemáticas. Sin embargo, estas ecuaciones tienen variables y números que NO SON REALES, por lo que NO podemos aplicar las mismas propiedades y operaciones que conocemos. Hay que utilizar nuevas operaciones y nuevas propiedades, definidas en el ALGEBRA DE BOOLE.Por tanto, vamos a trabajar con unas ecuaciones a las que NO estamos acostumbrados. Son muy sencillas, pero al principio pueden resultar poco intuitivas. En este capítulo aprenderemos a trabajar con ellas.

3.2. Las operaciones del Álgrebra de Boole
En el Álgebra de Boole hay dos operaciones, denotadas con los símbolos + y ( - ) pero que ¡¡no tienen nada que ver con las operaciones que todosconocemos de suma y producto!!. ¡¡¡No hay que confundirlas!!!!. El + y el del Algebra de Boole se aplican a bits, es decir, a números que sólo pueden ser el ’0’ ó el ’1’.
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3.2.1. La operación +
Esta operación se define de la siguiente manera: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 Las tres primeras operaciones nos resultan obvias, son iguales que la suma que conocemos, sin embargo la expresión 1 + 1 = 1 nospuede resultar chocante. ¿¿Pero no me habían dicho toda la vida que 1+1=2??, nos podemos estar preguntando. Sí, pero hay que recordar que aquí estamos utilizando otra operación que NO ES LA SUMA, la denotamos con el mismo símbolo ’+’, ¡¡pero no es una suma normal!! ¡¡Hay que cambiar el “chip”!! ¡¡Ahora estamos con Algebra de Boole!!

Pasado el pánico inicial, si nos fijamos en esta nueva...