Logica

UNIVERSIDAD DE VALPARAÍSO CSE

MATEMÁTICAS I

MATEMÁTICAS - I
LÓGICA
1.Lógica proposicional

Definición 1.1 Una proposición lógica es cualquier enunciado, frase, sentencia, etc. al que se le pueda asignar un valor de verdad ya sea verdadero (V) o falso (F). Las proposiciones lógicas se denotan por letras minúsculas tales como p , q , r , s , etc. Ejemplos1.1: p: Hace frió q: estálloviendo r: 2 + 4 - 7= 20

Dada una proposición

p

se define la negación de

p

como la proposición

p que se lee “ no p “ , y será
es verdadera. Ejemplo 1.2:p: Hace frío, que hace frió, etc.)

verdadera cuando p es falsa y es falsa cuando p

p

: No hace frió (es falso que hace frío, no es verdad

Las proposiciones pueden ser simples o compuestas. Las proposiciones simples sonaquellas formadas por un solo enunciado. En tanto que las proposiciones compuestas son aquellas formadas por dos o más enunciados simples. Ejemplos1.3: p: Hace calor q: está lloviendo y son la 14:30 horas proposición simple proposición compuesta proposición compuesta

r: 2 + 4 - 7= 20 entonces hoy es sábado

Para formar proposiciones compuesta a partir de enunciados simples o elementales seutilizan símbolos llamados conectivos lógicos. El valor de una proposición compuesta depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones elementales que la forman y la combinación de valores de las proposiciones simples se puede realizar mediante una tabla de verdad.

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TABLA RESUMEN CONECTIVOS
NOMBRE Negación Conjunción DisyunciónImplicancia Equivalencia Disyunción exclusiva SIMBOLO o bien SE ESCRIBE p o bien p p ∧ q p∨ q p⇒ q p ⇔ q SE LEE No p p y q p o q p implica q p entonces q p luego q p equivalente a q p si y solo si q p o exclusivo q

∧ ∨
⇒ ⇔

∨

p ∨ q

Construcción de una tabla de verdad (TV):
El número de entradas en una tabla de verdad, depende del número de proposiciones que se tengan: V 1 proposición 2 = 21entradas en la TV P F

q V V 2 proposiciones 4 = 2 2 entradas en la TV P F F V F 3 proposiciones 8 = 2 3 entradas en la TV

4 proposiciones 16 = 2 4 entradas en la TV n proposiciones 2n entradas en la TV

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Tabla resumen de valores de verdad para los distintos conectivos: p V V F F q V F V F p ∧ q V F F F p∨ q V V V F p⇒ q V F V V p ⇔ VF F V q p ∨ q F V V F

Observaciones1.1: A modo de regla nemotécnica podemos observar que: p ∧ q : Es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. p ∨ q : Es falsa solo cuando ambas proposiciones lo son. En cualquier es verdadera. otro caso

p ⇒ q : Es falsa solamente cuando la proposición p (condición suficiente) es verdadera y la proposición q(necesaria) es falsa p ⇔ q : Es verdadera cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad (ambas verdaderas o ambas falsas), en cualquier otro caso es falsa. p ∨ q : Es verdadera solamente cuando ambas proposiciones tienen distinto valor de verdad, en cualquier otro caso es falsa (es equivalente a la negación de una equivalencia).

Definición 1.2 Una proposición se dice que es una tautologíasi su valor de verdad es siempre verdadero, independiente de los valores de verdad de las proposiciones que la forman. Ejemplo1.4 . a)

p ∨ p
p
p F F V V p ∨ p V V V V

V V F F

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b)

( p ∧ q) ⇔ ( p ∨ q )
p
F F V V

p
V V F F

q
V F V F

q
F V F V

p

∧ q
V F F F

p ∧ q
F V V V

p v q
F V V V

( p ∧ q)

⇔ (p v q) V V V V

Definición 1.3 Una proposición se dice que es una contradicción si su valor de verdad es siempre falso independientemente de los valores de las proposiciones que la forman.

Ejemplo 1.5. a)

p

∧

p

p
V V F F

p F F V V

p ∧ p F F F F

b)

( p ⇒ q ) ⇔ (q ∧ p )

p
V V F F

p
F F V V

q
V F V F

q
F V F V

p ⇒ q
V F V V

q ∧ p
F V F F

( p...