Logica

mmGUÍA DE EJERCICIOS ÁLGEBRA Lógica y Métodos de Demostración

1. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si π ≤ 5 entonces 10 < 1. b) 52 = 25 o 2 + 2 = 5. c)1681 es primo y 7227 es múltiplo de 99. d) Si los ángulos interiores de un triángulo suman 200◦ , entonces 1 + 1 = 3. 2. Demuestre las siguientes equivalencias de proposiciones : a) p ⇒ (q ⇒ r) ≡ (p ∧q) ⇒ r b) p ⇔ q ≡ ¬ [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)] 3. Simplique las siguientes proposiciones : a) p ⇒ [¬q ⇒ (p ∨ q)] b) a ∨ [(b ⇒ ¬b) ∧ (a ⇒ ¬a)] c) (¬q ⇔ r) ∨ ¬r 4. ¾Para qué valores de p y q es falsa laproposición [(p ⇔ q) ∧ ¬q] ⇒ (p ∧ ¬q) ? 5. Determine el valor de verdad de p, q y r sabiendo que (p ∧ ¬q) ⇒ [r ∨ (p ⇔ q)] es falsa.

6. Se denen los conectivos

y

de la forma:
p q ≡ (p ⇒ ¬q) rs ≡ (¬r ∨ s)

Determine si la siguiente proposición es una tautología
[p ∧ ¬(¬p r)] ∨ [¬(¬p q) ∧ ¬(¬s p)]

7. Considerando el conjunto R de los números reales como universo, escriba lassiguientes expresiones utilizando conectivos y cuanticadores. Determine el valor de verdad de cada proposición. a) Todo número multiplicado por cero es cero. b) Hay un número que es mayor o igual que todoslos demás. c) Si un número es menor que 2, entonces es mayor que 1. d) Hay un número tal que su cuadrado es igual a sí mismo. e) No hay un número que sea positivo y negativo a la vez. 8. Dado elconjunto A = {1, 3, 5, 7}, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) (∃x ∈ A : 4x2 − 19x − 5 = 0) ∨ (∃x ∈ A : x2 = x). b) (∀x ∈ A : 3x + 28 ≥ x2 ) ∧ (∃x ∈ A : 2x + 10 = (x + 1)2 ). 9.Sean A = 1, 2, 3, 4 y B = 1, 2, 3 . Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones

a) ∃x ∈ A : ∀y ∈ B : x + 1 ≤ y b) ∀x ∈ A : ∀y ∈ B : x2 + 1 > y + xy − 2 c) ¬(∃y ∈ B : ∀x ∈ A : x + 1> y) 10. Para las siguientes proposiciones, demuestre si son verdaderas o encuentre un contraejemplo si son falsas. a) ∀x ∈ R : (x3 = 9x) ⇒ [(x = 0) ∨ (x = 3) ∨ (x = −3)] b) ∀n ∈ N : n2 + 3n + 1 es...