Logica

LOGICA PROPOSICIONAL

Proposición: Es un concepto primitivo, que no se define.
Es el nombre que se le da a todo enunciado que tenga un sentido lógico, este puede ser verdadero o falso.
Para denotarlas se utilizan las letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Ejemplos:

1) “Santiago es la capital de Chile” Proposición Verdadera.
2) “Cinco es mayor que diez” Proposición Falsa.
3)“¿Qué hora es?” No es proposición ya que no es ni verdadero ni falso.

Proposición Simple: es aquella que no esta vinculada a ninguna otra.

1er Principio: El valor de verdad de una proposición:
Una Proposición puede ser verdadera o falsa.

2do Principio: Negación.
La negación es cambiar el sentido de verdad de la proposición.
Se denota por: p   p  p  p’

Tabla de verdad Para nproposiciones simples, las entradas a la tabla son 2n. (La mitad verdadera y la otra mitad falsas).

p p
V
F
F V

Proposición Compuesta: esta formada por proposiciones simples que están vinculadas por conectivos lógicos.

 Conjunción “y”
 Disyunción “o”
Conectivos Lógicos  Condicional “implica, entonces”
 Bicondicional “sí y solo si”Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional
p q p  q p  q p  q p  q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V

Clasificación de una Proposición Compuesta

1) Tautología: Una proposición es una tautología o teorema lógico si su tabla de verdad es verdadera en todas sus combinaciones.

2) Contradicción: Una proposición es una contradicción si su tabla de verdad es falsa entodas sus combinaciones.

3) Contingencia: Una proposición es una contingencia si la tabla de verdad tiene resultados lógicos verdaderos y falsos, o sea no es tautología ni contradicción.

Ejemplo: Construir la tabla de verdad asociada a las siguientes proposiciones:

1) p p q)

p q p q p p q p  (p  q)
V V V V V V V V V
V
F V V V V V V F
F V V V F V F V V
F F F V FV F F F
Paso 2 3 1 2 1
Método 1 Método 2

2) p p

p p p p p  p
V
F F V F F
F V F F F V
Paso 1 2 1

3) (p q) (p  q)

p q p  q p  q (p  q) (p  q) (p  q)  (p  q)
V
V V V V V V V V V V V
V F V F F V V F F V F F
F V V F F F V V F F F V
F F F F V F F F V F F F
Paso 1 2 1 3 1 2 1

ALGEBRA DE PROPOSICIONES

EQUIVALENCIA LOGICA: Dosproposiciones se dicen lógicamente equivalentes si sus tablas de verdad son iguales y se denota por 

Por Ej.: 1) p  q  p q Definición condicional
2) p  q  (p  q) q p) Definición Bicondicional

LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES


1) Leyes de Idempotencia:
a) p p  p
b) p  p  p

2) Leyes Asociativas
a) (p  q)  r  p q r)
b) (p q) r  p q  r)

3) Leyes Conmutativas
a) p q q p
b) p  q  q p

4) Leyes Distributivas
a) p q  r) p q) p r)
b) p  (q  r) p q)  (p r)
5) Leyes de Identidad
a) p  F  p c) p V  V
b) p  V p d) p  F  F

6) Leyes de Complemento
a) p  p  V c) p  p F
b) V  F d) F  V

7) Ley de Involución
a) p  p

8)Leyes de DeMorgan
a) (p q) p q
b) (p  q) p q


Las equivalencias se pueden demostrar construyendo la tabla de verdad.

EJERCICIOS RESUELTOS

1) Identificar las proposiciones simples, los conectivos y escribir en forma simbólica.

“Las rosas son rojas y las violetas azules”

Solución: p: Las rosas son rojas
q: las violetas son azules
Conector “y”
Formasimbólica: p  q

2) Construya la tabla de verdad asociada a la siguiente proposición compuesta.
(p q) (p  q)

Solución:
p q p  q p q ~(p q) (p q) (p  q) (p  q)  ~ (p  q)
V V V V F F V V V F F V V V
V F F V F F V F F F F V V F
F V F V F F F F V F F F V V
F F F F V F F F F F V F F F
Paso 1 3 1 4 3 1 2 1
Método 1 Método 2

3) Demostrar la...