Logica

Exercise. Demostrar que las siguientes fbf son teoremas en el sistema L:

L

¬B −→ (B −→ A)
L

[Ley de Duns Escoto] [Silogismo Disyuntivo] [Doblenegación] [Teorema de la identidad]

{A −→ B, B −→ C}
L L

A −→ C

¬¬A −→ A A −→ ¬¬A

Theorem 1. [ SilogismoDisyuntivo ]Dadas A, B y C entonces{A −→ B, B −→ C} L A −→ C Demostración. Por axioma L2 (0) A −→ B Premisa (se supone verdadera) (1) B −→ C Premisa (Verdadera) (2)[A −→ (B −→ C)] −→ [(A−→ B) −→ (A −→ C)] L2 (3) (B −→ C) −→ [A −→ (B −→ C)] L1 (4) [A −→ (B −→ C)] MP, 1, 3 (5) (A −→ B) −→ (A −→ C) MP, 2,4 (6) A −→ C MP 0,5. Theorem 2. [ Leyde Duns Escoto ] Dadas A y B fbf entonces ¬B −→ (B −→ A).

L

Demostración. No hay premisas por lo que se deben utilizar los axiomas. (0) ¬B −→ [¬A−→ ¬B] L1 (1) [¬A −→ ¬B] −→ [B −→ A] L3 (2) ¬B −→ (B −→ A) SD, 0 ,1 Theorem 3. [ Doble negación ] Dada A fbf entonces A Demostración. Primero se tiene quedemostrar que ¬¬A lo que es lo mismo suponer ¬¬A es premisa Procedemos como en los anteriores.
1
L L

¬¬A −→

A

2

0. ¬¬A 1. ¬¬A −→ [¬A −→ ¬¬¬A](2) 2. ¬A −→ ¬¬¬A MP, 0,1 3. (¬A −→ ¬¬¬A) −→ (¬¬A −→ A) L3 4. ¬¬A −→ A MP, 2,3 5. A MP, 0,4 Ahora procedemos a demostrar el teorema Sabemos que L A −→A, por lo que (0) A −→ A Id (1) ¬¬A −→ A por la demostración anterior

El sistema L consta básicamente consiste de tres axiomas o reglas: L1 L2 L3 A −→(B −→ A) [A −→ (B −→ C)] −→ [(A −→ B) −→ (A −→ C)] [¬A −→ ¬B] −→ [B −→ A]

y una regla de inferencia llamada Modus Ponens. A A −→ B B