Logica

La v i sió n si n a cci ón es u n su eñ o ; la a cció n sin vi si ó n una pe sadill a.

∃ ∀ (x) P
3. PREDICADOS Y CUANTIFICADORES

- Prov er bio Jap on és –

3.1.Objetivos de este tema: Introducir el concepto de proposición abierta o predicado y comparar con las proposiciones vistas hasta el momento. Introducir los cuantificadores existencial y universal y conocer su función en la lógicade predicados. 3.2..Terminología. Comenzaremos por dar algunas definiciones necesarias para el desarrollo del tema. Conjunto: Entenderemos por conjunto, una colección de objetos. A estos objetos les llamamos “elementos” del conjunto. Variables: Dado un conjunto cualquiera , diremos que una variable es la representación genérica de un elemento del conjunto. Para designar las variables se utilizanlas letras “x”, “ y”,”z”. En general, “y” designará a objetos de una colección o conjunto y “x” los de otra. Estas variables sustituyen al “fulano” o “mengano” del lenguaje común; en lugar de decir “ Un fulano se dedica al teatro “ , diríamos: “hay un x que se dedica al teatro”. En este ejemplo, x es la variable y no es más que un elemento del conjunto de seres humanos. Constante: A una palabra,letra o símbolo la llamaremos constante, si y sólo si, designa a un elemento determinado de un conjunto. Por ejemplo, en el conjunto de seres humanos tanto Silvia como Luis, son constantes. Las constantes también se designan con letras minúsculas, usualmente : a,b,c 3.3.Predicado Un Predicado (también se le llama proposición abierta) , es un enunciado que contiene una o más variables, que no es unaproposición, pero que se convierte en una proposición cuando se sustituye la o las variables por constantes. Los predicados se designan con letras mayúsculas y al lado se pone(n) entre paréntesis la(s) variable(s): P(x), Q(y), R(x,y), T(x,y,z) Ejemplos: 1. Dado el Predicado P(x): “ El x es un río venezolano” Consideremos como constante a “b”, b = Orinoco y observemos que P(b)= P(Orinoco) sería: “ElOrinoco es un río venezolano” . P(b) es una proposición verdadera. Por tanto y a la luz de la definición, podemos concluir que P(x) es un predicado o una proposición abierta. 2. Q(y): “ y es un jugador de fútbol profesional” Sea a=Ronaldo Q(a) es verdadera y por tanto Q(y) es un predicado. Lógica FBMM02- Escuela de Matemática- UNIMET
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3. P(x,y): “ x es padre de y” ¿Será un predicado? •Para los enunciados dados a continuación, se pide sustituir cada variable por una constante y verificar de esta manera si el enunciado es o no un predicado o proposición abierta: 1. x es un gobernador de Venezuela 2. x es un profesor de la UNIMET 3. y es un buen libro 4. z juega fútbol 5. y es una flor 6. y es un rey 7. x es par 8. z es una emisora de TV 9. x es la fecha de mi cumpleaños 10. z es unmiembro de Primero Justicia

3.4. Dominio de predicados Llamaremos dominio del predicado P(x), a todas aquellas constantes que al ser sustituidas en el mismo, lo transforman en una proposición. Informalmente diríamos que el dominio de un predicado son todas aquellas constantes que tiene “sentido” considerar, que es lo que se conoce como Universo o Universo del discurso. Por ejemplo , si P(x): “El x es un río venezolano”, pudiéramos considerar como dominio o universo de P(x) a la colección de ríos del mundo. 3.5.Dominio de verdad de predicados El dominio de verdad de un predicado es el conjunto formado por todas las constantes que al ser sustituidas en el predicado, lo convierten en una proposición verdadera. Para el ejemplo anterior , P(x): “ El x es un río venezolano”, el dominio deverdad sería el conjunto A = {Orinoco, Apure, Catatumbo, Portuguesa, Caroní, Motatán, Chama, Torbes, Manzanares, ........... }. El Danubio , no está en el dominio de verdad de P(x), aunque pertenezca al dominio (Conjunto Universal) 3.6. Cuantificadores y su simbolización Observemos los siguientes enunciados que aparecen muy frecuentemente en nuestro lenguaje común. Todos los hombres son mortales...