Logica

Cap´ ıtulo 1

L´gica o
La l´gica se usa para determinar la validez de sentencias. No estudia el significado de las seno tencias, por el contrario, establece las reglas que permiten juzgar la validez de los argumentos. Las reglas que la l´gica proporciona nos permite evaluar cuando una conclusi´n deducida de ciertas o o premisas es consistente con esas premisas o cuando hay una falla en lospasos seguidos durante el proceso deductivo que dar´ sustento a la validez de la conclusi´n. ıan o

1.1.

Proposiciones y tablas de verdad

Una proposici´n es un enunciado declarativo que es verdadero o falso, pero no ambos simult´neao a mente. A las proposiciones tambi´n se le llama sentencias. Algunos ejemplos de proposiciones son: e ´ 1. Esta rosa es blanca. 2. Los tri´ngulos tienen cuatrov´rtices. a e 3. 3 + 2 = 4. 4. 6 < 24. 5. Ma˜ana es mi cumplea˜os. n n Obs´rvese que la misma proposici´n puede algunas veces ser cierta y algunas veces falsa dependie o endo del lugar, el tiempo, y por quien fue enunciada. Por ejemplo, la proposici´n (5) ser´ verdadera o a si para quien la dijo ma˜ana es su cumplea˜os, y falsa para cualquier otra persona. M´s a´n, para n n a u quien es cierta lasentencia el d´ de hoy, ser´ falsa en los dem´s d´ Similarmente, la validez o ıa a a ıas. falsedad de la sentencia (1) depende en que contexto la sentencia fue emitida.

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´ CAP´ ITULO 1. LOGICA

Los enunciados exclamativos, interrogativos e imperativos no son proposiciones, pues no podemos calificarlos como verdaderos o falsos. As´ las siguientes oraciones no son proposiciones: ı, 6. Note metas al jard´ ın. 7. ¡Viva el rey.! 8. ¿Fuiste a la fiesta de Carlos? 9. No digas eso. La veracidad (T) o falsedad (F) de una proposici´n se conoce como su valor de verdad. La o proposici´n (4) tiene un valor de verdad verdadero (T) y las proposiciones (2) y (3) tienen valores o de verdad falso (F). Los valores de verdad de las proposiciones (1) y (5) depende de las circunstancias en las que lasentencia fue enunciada. Las sentencias de 6-9 no son proposiciones, en consecuencia no se les puede asignar valores de verdad. Por convenci´n, cualquiera de estos s´ o ımbolos p, q, r, . . . puede representar una proposici´n eso pec´ ıfica, por ejemplo, p : Culiac´n est´ en Sinaloa, a a q : Los mamutes est´n extintos. a Tambi´n estas letras se usan para representar una proposici´n arbitraria, esdecir, se usan como e o variables cuyo valor es una proposici´n conveniente. o

1.2.

Conectivos l´gicos y tablas de verdad o

Las proposiciones 1-5 de §1.1 son proposiciones simples, dado que ellas representa a una sola sentencia. En esta secci´n veremos como las proposiciones simples pueden combinarse para que o formen sentencias m´s complicadas que llamaremos proposiciones compuestas. Loss´ a ımbolos que se usan para ligar pares de sentencias se conocen como conectivos l´gicos y el valor de verdad de o cualquier sentencia compuesta est´ completamente determinado por (a) los valores de verdad de a sus proposiciones componentes simples, y (b) por los conectivos l´gicos que las ligan. o Antes de estudiar los conectivos l´gicos m´s usuales, primero se ver´ una operaci´n que puede o aa o efectuarse en una proposici´n. Esta operaci´n se conoce como negaci´n y tiene el efecto de cambiar o o o el valor de verdad de la proposici´n. Para negar una sentencia, se le prefija el enunciado “no es el o caso que ...”. Esta no es la unica manera de negar una sentencia, pero lo que es importante es que la ´ negaci´n es falsa siempre que la proposici´n sea verdadera, y verdadera en todas lascircunstancias o o

´ 1.2. CONECTIVOS LOGICOS Y TABLAS DE VERDAD

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en que la proposici´n sea falsa. Podemos resumir esto en una tabla. Si p representa una proposici´n, o o ¬p (tambi´n −p, p o ∼ p) representa la negaci´n de p. La siguiente tabla representa los valores de e ¯ o verdad de p y los de ¬p. p T F ¬p F T

La columna izquierda da los valores de verdad para p y la columna...