Logica

Lógica y
Conjuntos.

Lógica:

La lógica estudia la forma del razonamiento, en un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en Matemáticas para demostrar teoremas, sin embargo, se usa en forma constante para realizar cualquier actividad en la vida
En matemáticas lalógica se expresa a través de proposiciones, que por definición es toda operación de la cual se puede afirmar si esta es verdadera (V) o bien falsa (F).

Existen dos tipos de proposiciones, estas son:
1.Simples: expresan una sola idea en su forma mas simple.
2.Compuestos: se construyen a partir de las proposiciones simples, por medio de conectivos lógicos.

EQUIVALENCIAS DE LOS CONECTIVOSLÓGICOS EN EL LENGUAJE COTIDIANO:

Símbolo | Nombre | Lenguaje común. |
~ | Negación | No |
^ | Conjunción | Y |
v | Disyunción inclusiva | O |
∆ | Disyunción exclusiva | “O…O…” |
⇒ | condicional | Implica que/entonces |
⇔ | bicondicional | “ si y solo si” |

Conectivos lógicos:
1.- Conjunción: se simboliza por “∧” ,se lee “y” .se denota por p∧q . El valor de verdad para dosproposiciones p ∧ q, es verdadera(V) únicamente cuando ambas son verdaderas, en todos los demás casos es falsa (F).

Tabla de verdad:
p | q | p ∧ q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | F |

Ejemplo:
Sean las proposiciones:

p: 5 es mayor que 2 (V)
q: 5 es igual a 2 (F)

La conjunción de ambas será : 5 es mayorque 2 y 5 es igual a 2.
p ∧ q

Su valor de verdad según la tabla de verdad es : V ∧ F = F.

2.- Disyunción: se simboliza por “∨”, se lee “o” y se denota “p v q” . El valor de verdad para dos proposiciones p V q es falsa (F) únicamente cuando ambas son falsas. En todos los demás casos es verdadera(V).

Tabla de verdad:
p | q | p V q |
V | V | V |
V | F | V |
F | V | V |
F | F | F |

Ejemplo:
Sean las proposiciones:

p: 4 es menor que 9 (V)
q: 4 es igual a 9 (F)

La disyunción de ambas será: 4 es menor que 9 o 4 es igual a 9.
p v q

Su valorde verdad según la tabla de verdad es: V v F = V.

3.- Implicancia , se simboliza por ” ⇒” , se lee “ si… entonces”. Muchas proposiciones, especialmente en matemáticas , son de forma “si p entonces q”. Tales proposiciones se denominan implicaciones o condicionales y se les denota por : p ⇒ q.
A la proposición “p” se denomina “antecedente o hipótesis” y a la proposición “q” se le denomina“consecuente o tesis”.

El valor de verdad para dos proposiciones p⇒q es falsa (F) únicamente cuando el antecedente “p” es verdadero y el consecuente “q” es falso. En todos los demás casos es verdadero.

Tabla de verdad:
p | q | p ⇒ q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | V |
F | F | V |

Ejemplo:
Sean las proposiciones:
p: 6 es menor que 10 (V)
q: 6 es igual a 10(F)

La implicación de ambas será : Si: 6 es menor que 10 , entonces, 6 es igual a 10.
p ⇒ q
Su valor de verdad según la tabla será : V ⇒ F = F.

4.- Equivalencia , se simboliza por ” ⇔ “ , se lee “ Si y solo si “ y se denota por p ⇔ q.
El valor de verdad para dosproposiciones p ⇔ q , es verdadera (V) únicamente cuando “p” y “q” son ambas verdaderas o ambas son falsas. En el resto de las cosas es falsa.

Tabla de verdad:
p | q | p ⇔ q |
V | V | V |
V | F | F |
F | V | F |
F | F | V |

Ejemplo:
Sean las proposiciones :
p: 4 es menor que 7 (V)
q: 4 es igual a 7 (F)

La bicondicional de...