logica

CAPITULO I
INTRODUCCION A LA LOGICA MATEMATICA
Con esta introducci´on de la L´ogica pretendemos estudiar ciertos principios importantes para el estudio de la
matem´atica.
Definici´on. Una proposici´on es una oraci´on declarativa completa con un significado bien definido y de la cual
podemos decir que es verdadera o falsa.
Por ejemplo las oraciones: “el oro es un metal precioso”, 2+3=5,2+3=8 son proposiciones.
Consideraremos proposiciones en su forma m´as simple (at´omicas) y las proposiciones compuestas, como aquellas formadas
por proposiciones simple mediante t´erminos de enlace. Una proposici´on simple es una proposici´on sin t´erminos
de enlace.Los t´erminos de enlace se usan para formar nuevas proposiciones a partir de proposiciones at´omicas.
Por ejemplo, consideremoslas siguientes proposiciones at´omicas,
Hoy es Domingo.
No hay clase.
Mediante un t´ermino de enlace podemos formar una nueva proposici´on compuesta. Por ejemplo
Hoy es Domingo y no hay clase
El t´ermino de enlace que hemos utilizado es “y”. Cuando tenemos una proposici´on molecular es importante determinar
las proposiciones at´omicas que la componen.
TERMINOS DE ENLACE
Los t´erminos deenlace entre proposiciones que utilizaremos son: ¿ y À, ¿ o À,¿ no À, ¿ si..., entonces À .
Simb´olicamente representaremos estos t´erminos de enlace por ∧, ∨, ∼, =⇒, respectivamente.
Claramente al utilizar un t´ermino de enlace entre dos o m´as proposiciones at´omicas obtendremos proposiciones
compuestas.
Observemos que el t´ermino de enlace ¿ no À act´ua sobre una sola proposici´on, mientrasque los dem´as t´erminos de
enlaces act´uan sobre dos proposiciones.
Algunos ejemplos en las que utilizan los t´erminos de enlace son los siguientes
Si estamos en diciembre entonces pronto llegar´a la Navidad
Hoy es lunes y hay clases
El viento arrasar´a las nubes o llover´a con seguridad.
No tendremos clase en el d´ıa de hoy.
Vamos a simbolizar cualquier proposici´on con las letras p, q,r, s, t, etc..
La regla fundamental de la l´ogica es,
1
La ley del medio excluido. Toda proposici´on debe ser verdadera o falsa,
pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos cosas.
Vamos a comenzar con algunas proposiciones cuyo valor de verdad es intuitivamente claro.
1. Si p no es cierta, claramente ∼p es verdadera. Si p es cierta entonces ∼p es falsa. (La ley del medioexcluido).
2. p ∧ q es verdadera si y s´olo si ambas son verdaderas.
3. p ∨ q es verdadera si y s´olo si p es verdadera o q es verdadera.
4. La proposici´on p ⇒ q (p implica q) se conoce como proposici´on condicional; a p se le llama antecedente y a q
el consecuente. Se acostumbra con esta implicaci´on decir que
p es condici´on suficiente para q;
q es condici´on necesaria para p.
Tambi´enpodemos decir que p es la hip´otesis y q es la conclusi´on.
Diremos que p ⇒ q es falsa cuando ´unicamente en el caso donde p es verdadera y q es falsa.
La proposici´on q ⇒ p se le llama la rec´ıproca de la proposici´on p ⇒ q.
Es necesario que nos demos cuenta de que p ⇒ q no garantiza que q ⇒ p.
Por ejemplo,
x = 3 =⇒ x2 = 9
es verdadera, pero la rec´ıproca
x2 = 9 =⇒ x = 3
es falsa.PROPOSICION BICONDICIONAL
Es la proposi´on expresada s´ımbolicamente por
p ⇐⇒ q
es una combinaci´on de las dos proposiciones condicionales p =⇒ q y q =⇒ p. El s´ımbolo de enlace ⇐⇒ se lee “si y
s´olo si”o “necesario y suficiente”
La proposici´on p ⇐⇒ q ser´a verdadera si p y q son verdaderas o p y q son falsas.
Por ejemplo,
Un tri´angulo tiene tres lados iguales ⇐⇒el tri´angulo es equilatero.INFERENCIA LOGICA
La idea de inferencia se puede expresar diciendo que de proposiciones verdaderas (premisas verdaderas) se obtienen
s´olo conclusiones que son verdaderas. Es decir de premisas verdaderas, entonces las conclusiones que se derivan de
ellas l´ogicamente, han de ser verdaderas.
Se dice q es consecuencia l´ogica de p, (p ⇒ q) si p verdadera implica q es verdadera
Se dice que un...