Logica

Consistencia de las proposiciones lógicas.
Tomado del capítulo 3 del libro Introducción a la lógica matemática de Suppes & Hill.

Se consideran las tres proposiciones siguientes:

1. Richard Nixon ganó las elecciones presidenciales de 1960.
2. Mi hermano pequeño puede levantar un peso de dos toneladas.
3. Tomás es más alto que Andrés y Tomás no es más alto que Andrés.Podremos probablemente convenir en que cada una de las proposiciones es falsa. Sin embargo, sabemos que son falsas por distintas razones.
La primera proposición se sabe que es falsa de hecho. Pero, en distintas circunstancias, hubiera podido ser cierta. Se puede decir también que la segunda proposición es falsa, pues ningún muchacho es suficientemente fuerte para levantar este peso en condicionesordinarias. Todavía se podrían sugerir circunstancias en las que la proposición podría ser cierta; por ejemplo, en un navío espacial donde los objetos no son pesados.
La tercera proposición, sin embargo, no puede ser cierta, nunca y en ninguna parte. Es una proposición lógicamente imposible. No hace falta conocer el significado de «Tomás es más alto que Andrés» para saber que no puede ser cierta laproposición. Se deduce de su forma lógica.
Una proposición de la forma

(R) & (R)

se denomina una contradicción. Se dice que dos proposiciones son contradictorias si una es la negación de la otra. Una contradicción, entonces, es la conjunción de una proposición y su negación. Siempre es falsa. La proposición (3) anterior es de la forma

R & R

y, por tanto, es una contradicción.Con dos diagramas de certeza se puede mostrar fácilmente que una contradicción es lógicamente falsa.

R & RC C F F | R & RF F C F |

Se ve en ellos que R & R es falsa cualquiera que sea el valor de certeza de la proposición atómica R. No existe ninguna posibilidad de que sea cierta. Esta es la razón por la que se denomina lógicamentefalsa.
Hay muchas formas que puede tomar una proposición que la hacen lógicamente falsa. Si la proposición no tiene la forma de una contradicción (R & R), puede reconocerse utilizando las reglas de deducción hasta llegar a una contradicción. Las reglas nunca permiten deducir una conclusión falsa de premisas verdaderas, de manera que si la conclusión es lógicamente falsa, entonces la premisaha de ser también lógicamente falsa. Esto se ilustra por medio de

Eiemplo a.

(1) (S V S) P

Esta proposición no presenta la forma de una contradicción pero se puede deducir

S & S LdM
y
S & S CL

La línea (3) es de la forma R & R y esto demuestra que la premisa no puede ser verdadera.
Otro ejemplo en, el que la premisa es lógicamente falsaes:

Ejemplo b.

(1) (S R) & (S R) (2) S R(3) (S V R)(4) S & R(5) S(6) R(7) R(8) R & R | PS 1 S 1 LdM 3S 4 S 4
PP 2, 5 A 7, 6 |

Las dos últimas líneas de esta demostración hubieran podido ser:
(7) S (8) S & S | TT 2, 6 A 5, 7 |

No importa, pues, cuál sea la contradicción que en cada caso se ha deducido.

Se sabe que una contradicción, P & P, es laconjunción de una proposición y su negación. Si una de las proposiciones en la conjunción es una proposición cierta, entonces la otra ha de ser falsa; lógicamente no pueden ser ambas ciertas. Su conjunción, entonces, ha de ser una proposición falsa. Cada dos o más proposiciones que lógicamente no pueden ser ciertas a la vez se dice que son inconsistentes. Se dice que forman un conjunto inconsistente deproposiciones y juntas implican una contradicción.
En algunos casos lo que interesa no es deducir una conclusión particular, sino deducir si un conjunto de proposiciones es consistente o inconsistente. Para demostrar que unas premisas son inconsistentes se deduce una contradicción. Utilizando las reglas y métodos de deducción que ya conocemos, si es posible deducir una contradicción a partir de...