logica

Lógica de primer orden
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La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes de primer orden.1 Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con predicadosy funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de individuo.2
La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a prácticamente todas las matemáticas.
Índice
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1 Introducción
1.1 Predicados
1.2 Constantes de individuo
1.3 Variables de individuo
1.4 Cuantificadores
1.5 Conectivas
1.6 Argumentos
2 Sistema formal
2.1 Sintaxis2.1.1 Observaciones
2.1.2 Substitución de variables libres
2.1.3 Identidad
2.2 Reglas de inferencia
2.3 Axiomas
2.4 Semántica
3 Metalógica
3.1 Completitud
3.2 Decidibilidad
3.3 El teorema de Löwenheim-Skolem
3.4 El teorema de compacidad
3.5 El teorema de Lindström
4 Historia
5 Véase también
6 Notas y referencias
Introducción[editar]
Como el desarrollo histórico y las aplicaciones de la lógica deprimer orden están muy ligados a la matemática, en lo que sigue se hará una introducción que contemple e ilustre esta relación, tomando ejemplos tanto de la matemática como del lenguaje natural. Primero se introducen cada uno de los conceptos básicos del sistema, y luego se muestra cómo utilizarlos para analizar argumentos.
Predicados[editar]
Un predicado es una expresión lingüística que puedeconectarse con una o varias otras expresiones para formar una oración.3 Por ejemplo, en la oración «Marte es un planeta», la expresión «es un planeta» es un predicado que se conecta con la expresión «Marte» para formar una oración. Y en la oración «Júpiter es más grande que Marte», la expresión «es más grande que» es un predicado que se conecta con dos expresiones, «Júpiter» y «Marte», para formar unaoración.
En lógica matemática, cuando un predicado se conecta con una expresión, se dice que expresa una propiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o más expresiones, se dice que expresa una relación (como la relación de ser más grande que). La lógica de primer orden no hace ningún supuesto, sin embargo, sobre si existen o no las propiedades o las relaciones.Sólo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingúisticas.
En la lógica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una función es, metafóricamente hablando, una máquina que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve como resultado una única cosa. A las cosas que entran a las funciones se las llamaargumentos,4 y a las cosas quesalen, valores o imágenes. Considérese por ejemplo la siguiente función matemática:
f(x) = 2x
Esta función toma números como argumentos y devuelve más números como valores. Por ejemplo, si toma el número 1, devuelve el número 2, y si toma el 5, devuelve el 10. En la lógica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no sólo toman números como argumentos, sino expresiones como«Marte», «Mercurio» y otras que se verán más adelante. De este modo, la oración «Marte es un planeta» puede transcribirse, siguiendo la notación propia de las funciones, de la siguiente manera:
Planeta(Marte)
O, más abreviadamente:
P(m)
En la matemática existen además funciones que toman varios argumentos. Por ejemplo:
f(x,y) = x + y
Esta función, si toma los números 1 y 2, devuelve el número 3, ysi toma el -5 y el -3, devuelve el -8. Siguiendo esta idea, la lógica de primer orden trata a los predicados que expresan relaciones, como funciones que toman dos o más argumentos. Por ejemplo, la oración «Caín mató a Abel» puede formalizarse así:
Mató(Caín,Abel)
O abreviando:
M(c,a)
Este procedimiento puede extenderse para tratar con predicados que expresan relaciones entre muchas...