Logica

Conectivas Lógicas

Mtro. Cristian A. Gutiérrez R. Lógica 1 (2012-1)

Ejemplos de Enunciados
(1) Llueve. (2) Si un argumento es válido, entonces siempre trasmite la verdad de sus premisas a su conclusión. (3) Ni la conclusión se sigue, ni las premisas son interesantes. (4) O el éxtasis segundo del acontecimiento como tal descubre la radical fundamentación del todo en la nada, o existe almenos un objeto. (5) Hoy enterramos tu cuerpo.

Algunas de estas proposiciones son más complejas que otras, unas parecen tener “partes” y otras no. Esta idea de tener “partes” tiene sentido si pensamos que ciertas proposiciones hablan de varios hechos, mientras que otras hablan sólo de uno.

Proposiciones atómicas.
Las proposiciones que se refieren a sólo un hecho son llamadas proposicionesatómicas. Son expresadas por oraciones declarativas que (típicamente) atribuyen una propiedad a un objeto o a varios objetos. Ejemplos: (1) Dios existe. (2) El dinero es una institución social. (3) Las cosmovisiones son maneras coherentes de ver al universo.

Proposiciones moleculares
Las proposiciones que se forman a partir de las proposiciones atómicas, son llamadas proposiciones moleculares.Ejemplos: (1) Dios no existe. (2) El dinero es una institución social y Dios existe. (3) Si una cosmovisión es una manera coherente de ver al universo, entonces yo tengo una.

Proposiciones moleculares (2)
El “pegamento” para “unir” proposiciones atómicas son las conectivas o constantes lógicas proposicionales. Ejemplos: (1) Dios no existe. (2) El dinero es una institución social y Diosexiste. (3) Si una cosmovisión es una manera coherente de ver al universo, entonces yo tengo una.

Sobre constantes lógicas
(1) Son constantes: su interpretación no cambia. (2) Permiten hacer inferencias deductivas.

Funciones de verdad
Semánticamente, las conectivas lógicas proposicionales son funciones de verdad. Es decir, toman los valores de verdad de las proposiciones atómicas que “unen” ydevuelven otro valor de verdad. V,F V

Principios semánticos
1.Sólo hay dos valores de verdad: Verdadero y Falso. 2.Toda proposición atómica tiene valor de verdad. 3.Toda proposición atómica tiene un sólo valor de verdad. 4.El valor de verdad de las proposiciones moleculares está completamente determinado por los valores de verdad de las proposiciones atómicas que la componen y por elsignificado de las conectivas lógicas. (Principio de composicionalidad)

Función valuación
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Una función valuación asigna a cada proposición atómica una valor de verdad.
Proposiciones Atómicas Valores de verdad

P Q T

V F

Otra forma de escribir los valores de la función valuación
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v(P)= V v(Q)= V v(T)= F . . .

Conectivas como funciones de verdad
Una vez que tenemos lafunción valuación podemos saber el valor de verdad de una proposición molecular usando las funciones de verdad. Ellas reciben como “input” valores de verdad y devuelven como “output” valores de verdad. Para cada “input” la función de verdad te devuelve un único “output”. Estas funciones de verdad son fijadas por las tablas de verdad, que hacen explícitos los “outputs” para cada “input”.

Lasconstantes lógicas proposicionales que estudiaremos son: * La negación: ~ * La disyunción inclusiva: ∨ * La disyunción exclusiva: ≡ * La conjunción: ∧ * El condicional material: ⊃ * El bicondicional material: ≡

La negación ~
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La negación es una función de un sólo argumento, es decir, sólo necesita una entrada. Invierte los valores de verdad.

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V F

F V

Tabla de verdad de lanegación

α V F

~α F V

Reglas semánticas para la negación
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v(~α)= V si y sólo si (sii) v(α)= F v(~α)= F si y sólo si (sii) v(α)= V

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La conjunción ∧
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La conjunción es una función de verdad de dos argumentos, es decir, que necesita de dos entradas. La conjunción afirma que suceden dos cosas.
(V,V) (V,F) (F,V) (F,F) V F

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Tabla de verdad de la conjunción
α V V F F β...