logica

Editado por
Verónica Gruenberg Stern

Apuntes de

MAT021 - Complementos

vs. 1er. sem. 2013

Prefacio

Estimados alumnos:
Este texto ha sido desarrollado especialmente para ustedes, y es el resultado del aporte de muchos
colegas del Departamento de Matemática de la Universidad Técnica Federico Santa María, que a
lo largo del tiempo han dictado este curso. Las diferentes seccionesincorporan apuntes de profesores tanto de Casa Central como del Campus Santiago, especialmente Nelson Cifuentes, Pedro
Gajardo, Víctor González y Erwin Hernández. En esta versión, éstos han sido editados por quien
suscribe, para que su estructura incorpore no solo los contenidos que se espera conozcan en profundidad, sino que también una gran cantidad de ejercicios resueltos y propuestos, queesperamos
resuelvan con entusiasmo, para lograr mejores aprendizajes. Hemos optado también por incluir
muchas demostraciones de los teoremas que revisarán en clases. No es el objetivo que todas éstas
sean vistas en clases. Más bien, esperamos que los alumnos interesados, tengan la posibilidad de
profundizar en la aprehensión de los conceptos involucrados, y de comprender cómo se realiza laconstrucción del conocimiento matemático. Esperamos que esta primera versión, aún preliminar,
les sea de utilidad, y que cualquier error que encuentren (por cierto, involuntario), nos sea informado al mail indicado abajo.
Es importante que tengan presente que este apunte no reemplaza las clases. Para lograr un buen
aprendizaje de los conceptos e ideas que considera este curso, es fundamental queasistan a clases,
participen activamente en ella, estudien de manera metódica, ojalá estructurando un horario de
estudio diario, preparándose siempre para su próxima clase y que planteen a sus profesores cualquier duda que les surja.
Cordialmente,
Verónica Gruenberg Stern
Departamento de Matemática
Universidad Técnica Federico Santa María
veronica.gruenberg@usm.cl
I

Índice generalPrefacio

I

Índice general

III

1. Nociones básicas de Lógica y Conjuntos

1

1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2. Conectivos Lógicos y Tablas de Verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3. Álgebra de Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

1.4. Nociones Básicas de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.5. Álgebra de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.6. Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.7. Conjunto Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

25

1.8. Producto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

1.9. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.10. Ejercicios de Controles y Certámenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2. Trigonometría

35

2.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2. Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3. Identidades Fundamentales en el triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

2.3.1. Suma y resta de ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

42

2.4. Identidades Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

2.5. Resolución de Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

2.6. Gráficas de las Funciones Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.6.1. Funciones sinusoidales . . . . . . . . . . . . ....