logica

Examen de Área
Lógica
Noviembre 28 de 2012
1. Considere la teoría siguiente en el vocabulario: L = fP1 ; P2 ; ::::g donde
cada Pi es un predicado unario:
T = f8x:(Pi (x)^ Pj (x)) : i < jg [ f9

n

xPi (x) : n = 1; 2; :::; i = 1; 2:::g

(a) Muestre que T no es -categórica para ningún cardinal

!:

(b) Si M es un modelo enumerable deT y A
M demuestre que la
teoría T h(M; a)a2A tiene un modelo universal enumerable (todo modelo
enumerable se puede sumergir elementalmente en dicho modelo universal).
(c)Pruebe que T es !-estable.
2. Demuestre que si un tipo t de un teoría completa T tiene …nitas realizaciones en cada modelo de T entonces hay una cota …nita para el
númerode realizaciones y el tipo es principal.
3. Recuerde que una estructura M se dice !-homogénea si para todo n
y elementos a1 ; : : : ; an ; an+1 y b1 ; : : : ; bn del universode M tales que
tpM (a1 : : : an ) = tpM (b1 ; : : : ; bn ), existe un elemento bn+1 en el universo
de M tal que tpM (a1 : : : an ; an+1 ) = tpM (b1 ; : : : ; bn ; bn+1 ).(a) Demuestre que toda estructura tiene una extensión elemental !homogénea.
(b) Muestre que si A y B son estructuras enumerables tales que:
1. A es elementalmenteequivalente a B;
2. ambas estructuras son !-homogéneas; y
3. para cada n, A y B realizan los mismos n-tipos,
entonces A = B.
(c) Muestre (con un contraejemplo) que en (b) no essu…ciente asumir
las condiciones 1 y 2.

1

4. (a) Demuestre que si es un cardinal in…nito y
.
(b) Demuestre que no existe cardinal

2 entonces cof(

)>

tal que @! =2 :

5. Sea un cardinal no enumerable. Encuentre el número de subconjuntos
cerrados y no acotados (o “club” de .
)
6. Un árbol es un subconjunto T del conjunto 2