logica

Ecuaciones de la recta en el espacio
Ecuación vectorial de la recta
Sea P(x1, y1) es un punto de la recta r y 𝑢𝑢
�⃗ su vector

director, el vector �����⃗
𝑃𝑃𝑋𝑋 tiene igual dirección que 𝑢𝑢
�⃗,luego

es igual a 𝑢𝑢
�⃗ multiplicado por un escalar:

Ecuaciones paramétricas de la recta
Operando en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:

Igualando coordenadas se llegaa:

Ecuaciones continuas de la recta
Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:

Ecuaciones implícitas de la recta
Una recta puede venir determinada por la intersección delos planos.

Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al
primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.
1

Ejemplos
1. Hallar lasecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa
por el punto A = (−1, 2, 1) y cuyo vector director es 𝑢𝑢
�⃗ = (4,5, −1) .

2. Hallar las ecuaciones paramétricas, en formacontinua e implícita de la recta que pasa
por los puntos A(1, 0, 1) y B(0, 1, 1).

3. Sea r la recta de ecuación:

2

¿Pertenecen a r los puntos A(0, −2, −2) y B(3, 2, 6)?

4. Dada la rectaHallar las ecuaciones en forma continua y paramétrica.

3

Ecuaciones del plano
Ecuación vectorial
Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección.

Paraque el punto P pertenezca al plano π el vector �����⃗
𝑃𝑃𝑋𝑋 tiene que ser coplanario con 𝑢𝑢
�⃗ 𝑦𝑦 𝑣𝑣⃗. Luego se

puede expresar como combinación lineal de ambos.

Ecuaciones paramétricas delplano
Operando en la ecuación vectorial del plano llegamos a la igualdad:

Esta igualdad se verifica si:

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Ecuación general o implícita del plano
Partiendo de las ecuaciones paramétricas, unpunto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitasλ y µ· Por tanto el determinante
de la matriz ampliada del sistema con la...