logica

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NOCIONES ELEMENTALES DE LOGICA
´
MATEMATICA

Estudiaremos brevemente un lenguaje no contradictorio ni ambivalente que nos permitir´a introducirnos a la Matem´atica: la L´ogica Matem´atica, que estudia las leyes que
regulan el razonamiento.
Por fines did´
acticos la dividimos en
a) l´
ogica proposicional,
b) l´
ogica funcional.

1.1.

´
LOGICA
PROPOSICIONAL

En la l´
ogicaproposicional consideraremos dos elementos b´asicos: Proposiciones, Conectivos.
1.1.1.

Proposiciones

Son “frases” sobre las cuales podemos decidir, un´ıvocamente, sobre la verdad (V ) o
falsedad (F ) de ellas.
As´ı entonces, una proposici´
on es una frase que es V o F , no existiendo la posibilidad
de obtener ambas decisiones conjuntamente (Principio del tercero excluido).
Lasproposiciones las denotamos por letras min´
usculas p, q, r, etc., que resumir´an, en
si mismo, el significado particular que tengan al interior de una situaci´on concreta.
Ejemplo 1.1.1.
1. “p” resumir´
a, al interior de ´este ejemplo, a la proposici´
on: “Hoy es Martes 10 de
Mayo“, y denotamos p: “Hoy es Martes 10 de Mayo”.
2. Las siguientes “frases” son proposiciones:
q : x + 4 = 9 y x = 5 (esV )
r : Si x es un n´
umero real, entonces su cuadrado es no negativo (es V ).

Observaci´
on 1.1.1. No son proposiciones los interrogativos y los imperativos.
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

1.1.2.

Conectivos

S´ımbolos que, junto con las proposiciones b´asicas, nos permiten crear nuevas proposiciones, son:
∼: se lee “no”,
∧: se lee “y”,
∨: se lee“ y/o”,
⇒: se lee “. . . implica . . .” ´
o “si, . . . entonces, . . .”,
⇔: se lee “. . . equivalente con . . .”.
Observaci´
on 1.1.2. El conectivo “∼” se usa antes de una proposici´on, y los restantes
conectivos se usan entre dos proposiciones.
Ejemplo 1.1.2. Si p, q, r son proposiciones, entonces tambi´en son proposiciones:
1. ∼ p
2. p ∧ q
3. p ∨ q
4. p ⇒ q
5. p ⇔ q
6. p ∧ (q ∨ r)7. [(∼ p) ∧ (q ∨ r)] ⇒ q
1.1.3.

Tablas de Verdad

Las proposiciones compuestas, es decir, aquellas que contienen al menos un conectivo,
tienen, naturalmente, un valor veritativo, y para las proposiciones compuestas b´asicas ese
valor veritativo lo damos en las siguientes “tablas de verdad”.
Tabla de Verdad de la Negaci´
on (∼)
Dada la proposici´
on b´
asica “p” , existe la negaci´onde ella, denotada ∼ p, que se lee
“no p”, proposici´
on que tiene la siguiente tabla de verdad.
p
V
F

∼p
F
V

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HERALDO GONZALEZ
SERRANO

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Observaci´
on 1.1.3. Es claro que el valor veritativo de ∼ p es el contrario de p. Por ejemplo,
si “p” es
p: “Hoy llueve”
es verdadero entonces ∼ p es
∼ p: “Hoy no llueve”
es falso.
Tabla de Verdad de la Conjunci´
on (∧)
Dadas lasproposiciones “p”, “q”, existe la conjunci´on de ellas, denotada p ∧ q, que se
lee “p y q”, proposici´
on tal que su tabla de verdad es
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p∧q
V
F
F
F

Observaci´
on 1.1.4. La conjunci´
on es verdadera s´olo si las proposiciones que la componen
lo son.

Tabla de Verdad de la Disyunci´
on (∨)
Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la disyunci´on deellas, denotada p ∨ q que se
lee “p o q”, proposici´
on tal que su tabla de verdad es
p
V
V
F
F

q
V
F
V
F

p∨q
V
V
V
F

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE, FACULTAD DE CIENCIA

Observaci´
on 1.1.5.
1. La disyunci´
on es verdadera siempre, menos cuando las proposiciones que la componen son ambas falsas.
2. La disyunci´
on presentada es incluyente, es decir, admitecomo verdadera a la proposici´
on p ∨ q cuando ambas proposiciones que la componen lo son, sin embargo, si
deseamos la disyunci´
on excluyente, la denotamos p q, en este caso, si las proposiciones p, q son ambas verdaderas entonces p q es falsa.

Tabla de Verdad de la Implicaci´
on (⇒)
Dadas las proposiciones “p”, “q” existe la implicaci´on de p con q, denotada p ⇒ q,
que se lee “p implica...